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Auteur Randé, Bernard
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Affiner la rechercheAnalyse complexe / Randé, Bernard in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM1 (Trimestriel)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Titre : Analyse complexe : applications holomorphes Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-22 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Complexe--Applicalions--Holomorphes Résumé : Les applications holomorphes permettent d’élucider certains phénomènes qui semblent ne mettre en cause, au premier abord, que des nombres réels, alors que ces applications sont définies sur un ouvert du plan complexe.
Un exemple frappant de cette situation est fourni par le calcul d’intégrales de fonctions de la variable réelle, rendu simple et surtout systématique, par l’utilisation de la formule des résidus.
Cette formule exprime, en termes calculatoires, la géométrie du plan complexe, qui diffère de celle de la droite réelle en ceci que, dans le premier cadre, il est possible d’entourer un point par un lacet (c’est-à-dire une courbe qui se referme sur elle-même). La notion d’intégrale le long d’un lacet permet alors de calculer une intégrale « autour » d’un pôle d’une application holomorphe f. Ce faisant, on fait apparaître deux termes :
le premier, de nature géométrique, est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle : c’est la notion d’indice ;
le second exprime le comportement de f au voisinage du pôle, qui fait intervenir un nombre, le résidu de f en ce pôle.
À l’aide de telles intégrales, on obtient une formule assez générale, dite formule des résidus. Convenablement appliquée à des lacets particuliers, elle permet d’obtenir la valeur de nombreuses intégrales d’applications définies sur , souvent restrictions de certaines applications holomorphes sur .
On peut aussi en déduire d’autres égalités, en appliquant la formule des résidus à des applications dépendant d’un paramètre complexe. Ces égalités donnent lieu à des identités entre fonctions complexes (du paramètre). Les développements eulériens sont de cette nature.
L’utilisation d’intégrales le long de certains chemins conduit aussi à la résolution d’équations différentielles. Ce sujet, en soi très vaste, n’est pas abordé dans l’article, pas plus que la recherche du comportement asymptotique d’intégrales dépendant d’un paramètre.Note de contenu : Errata. REFERENCE : AF113 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse complexe : applications holomorphes [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-22 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Mots-clés : Analyse--Complexe--Applicalions--Holomorphes Résumé : Les applications holomorphes permettent d’élucider certains phénomènes qui semblent ne mettre en cause, au premier abord, que des nombres réels, alors que ces applications sont définies sur un ouvert du plan complexe.
Un exemple frappant de cette situation est fourni par le calcul d’intégrales de fonctions de la variable réelle, rendu simple et surtout systématique, par l’utilisation de la formule des résidus.
Cette formule exprime, en termes calculatoires, la géométrie du plan complexe, qui diffère de celle de la droite réelle en ceci que, dans le premier cadre, il est possible d’entourer un point par un lacet (c’est-à-dire une courbe qui se referme sur elle-même). La notion d’intégrale le long d’un lacet permet alors de calculer une intégrale « autour » d’un pôle d’une application holomorphe f. Ce faisant, on fait apparaître deux termes :
le premier, de nature géométrique, est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle : c’est la notion d’indice ;
le second exprime le comportement de f au voisinage du pôle, qui fait intervenir un nombre, le résidu de f en ce pôle.
À l’aide de telles intégrales, on obtient une formule assez générale, dite formule des résidus. Convenablement appliquée à des lacets particuliers, elle permet d’obtenir la valeur de nombreuses intégrales d’applications définies sur , souvent restrictions de certaines applications holomorphes sur .
On peut aussi en déduire d’autres égalités, en appliquant la formule des résidus à des applications dépendant d’un paramètre complexe. Ces égalités donnent lieu à des identités entre fonctions complexes (du paramètre). Les développements eulériens sont de cette nature.
L’utilisation d’intégrales le long de certains chemins conduit aussi à la résolution d’équations différentielles. Ce sujet, en soi très vaste, n’est pas abordé dans l’article, pas plus que la recherche du comportement asymptotique d’intégrales dépendant d’un paramètre.Note de contenu : Errata. REFERENCE : AF113 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Titre : Analyse complexe : théorie des applications holomorphes Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-18 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Complexe--Théories applications--Holomorphes Résumé : Les nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI e siècle). Jusqu'à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d'ordre algébrique.
De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe.
D'autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l'exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l'étude précise des fonctions de la variable complexe . Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu'il s'agit de leur dérivabilité .
Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d'une structure de corps ordonné, ce qui permet justement à – 1 d'y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D'un autre côté, une application continue n'admet en général pas de primitive dans af112eq1 : l'intégration s'y fait là le long de chemins, et il y en a de nombreux qui mènent d'un point à un autre. Dans af112eq2, seul un segment convient. Ces divergences profondes à l'égard de la primitivation ont des conséquences sur la notion même de dérivabilité. C'est à Cauchy qu'il revient, à travers la formule de Cauchy, de montrer qu'une application dérivable de la variable complexe est en fait indéfiniment dérivable, et même analytique.
Une des conséquences de ce constat fondamental est la grande rigidité de la notion même d'application dérivable de la variable complexe (appelée aussi application holomorphe ). Une autre, plus heureuse, est de permettre de nombreux calculs d'intégrales au moyen de la formule des résidus, un des avatars de la formule de Cauchy.
L'analyse complexe d'une variable trouve de nouveaux développements dans l'étude des applications harmoniques de deux variables réelles et, un peu plus tard, dans ses applications à l'arithmétique. L'étude de la fonction zêta et, notamment, la localisation des points où elle s'annule, conduit au théorème des nombres premiers, qui en précise la répartition. La conjecture de Riemann, toujours d'actualité, est de la même veine. D'autre part, en restant dans le domaine plus terre à terre des applications à la physique, de nombreuses fonctions spéciales, définies dans une partie du champ complexe, sont utilisées pour résoudre des équations différentielles ou des équations fonctionnelles. À l'heure actuelle, les fonctions de la variable complexe sont un outil fondamental dans la résolution des problèmes du calcul infinitésimal.
La première partie de l'article « Analyse complexe » est essentiellement consacrée à l'élucidation des propriétés, plutôt surprenantes de prime abord, que la dérivabilité d'une application lui impose.
On trouvera, dans la seconde partie [AF 113], un certain nombre d'appli-cations, ainsi qu'un regard sur des techniques un peu plus puissantes.REFERENCE : AF112 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse complexe : théorie des applications holomorphes [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-18 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Mots-clés : Analyse--Complexe--Théories applications--Holomorphes Résumé : Les nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI e siècle). Jusqu'à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d'ordre algébrique.
De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe.
D'autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l'exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l'étude précise des fonctions de la variable complexe . Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu'il s'agit de leur dérivabilité .
Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d'une structure de corps ordonné, ce qui permet justement à – 1 d'y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D'un autre côté, une application continue n'admet en général pas de primitive dans af112eq1 : l'intégration s'y fait là le long de chemins, et il y en a de nombreux qui mènent d'un point à un autre. Dans af112eq2, seul un segment convient. Ces divergences profondes à l'égard de la primitivation ont des conséquences sur la notion même de dérivabilité. C'est à Cauchy qu'il revient, à travers la formule de Cauchy, de montrer qu'une application dérivable de la variable complexe est en fait indéfiniment dérivable, et même analytique.
Une des conséquences de ce constat fondamental est la grande rigidité de la notion même d'application dérivable de la variable complexe (appelée aussi application holomorphe ). Une autre, plus heureuse, est de permettre de nombreux calculs d'intégrales au moyen de la formule des résidus, un des avatars de la formule de Cauchy.
L'analyse complexe d'une variable trouve de nouveaux développements dans l'étude des applications harmoniques de deux variables réelles et, un peu plus tard, dans ses applications à l'arithmétique. L'étude de la fonction zêta et, notamment, la localisation des points où elle s'annule, conduit au théorème des nombres premiers, qui en précise la répartition. La conjecture de Riemann, toujours d'actualité, est de la même veine. D'autre part, en restant dans le domaine plus terre à terre des applications à la physique, de nombreuses fonctions spéciales, définies dans une partie du champ complexe, sont utilisées pour résoudre des équations différentielles ou des équations fonctionnelles. À l'heure actuelle, les fonctions de la variable complexe sont un outil fondamental dans la résolution des problèmes du calcul infinitésimal.
La première partie de l'article « Analyse complexe » est essentiellement consacrée à l'élucidation des propriétés, plutôt surprenantes de prime abord, que la dérivabilité d'une application lui impose.
On trouvera, dans la seconde partie [AF 113], un certain nombre d'appli-cations, ainsi qu'un regard sur des techniques un peu plus puissantes.REFERENCE : AF112 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-31 p.
Titre : Calcul différentiel Type de document : texte imprimé Auteurs : Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-31 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul--Différentiel--Physiques--Equations Résumé : es fondements du calcul différentiel, l'introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l'une de l'autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C'est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d'une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l'Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIe siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d'Alembert (1717-1783) étudie l'équation des oscillations d'une chaîne pesante. En 1746, il écrit l'équation des cordes vibrantes (?2 y/?t2 = ?2 y/?x2 ) qu'il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s'intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l'étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d'actualité.REFERENCE : AF55 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Calcul différentiel [texte imprimé] / Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-31 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-31 p.
Mots-clés : Calcul--Différentiel--Physiques--Equations Résumé : es fondements du calcul différentiel, l'introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l'une de l'autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C'est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d'une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l'Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIe siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d'Alembert (1717-1783) étudie l'équation des oscillations d'une chaîne pesante. En 1746, il écrit l'équation des cordes vibrantes (?2 y/?t2 = ?2 y/?x2 ) qu'il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s'intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l'étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d'actualité.REFERENCE : AF55 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM3 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Titre : Equations différentielles Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-12 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations différentiellesSystèmes dynamiques Résumé : Dans les applications, les équations différentielles qui s’introduisent le plus naturellement sont les équations différentielles autonomes, qui sont étudiées dans le cadre des systèmes dynamiques () et les équations différentielles linéaires (), éventuellement non autonomes, qui modélisent des systèmes entretenus simples. Les équations différentielles les plus générales, celles qui font l’objet du présent article, offrent néanmoins le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par une loi continue. Leur étude permet en outre, sous des hypothèses plus fortes, d’obtenir les résultats théoriques nécessaires à l’analyse des équations autonomes. En outre, les techniques qualitatives qui leur sont dédiées s’appliquent, mutatis mutandis, aux équations différentielles autonomes et linéaires. L’usage de l’ordinateur peut être d’un grand secours, tant dans la résolution exacte et approchée de ces équations que dans leur étude qualitative. Le calcul exact (formel) des solutions de certaines classes d’équations différentielles fera l’objet d’un article séparé. REFERENCE : AF 652 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations différentielles [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-12 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM3 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Mots-clés : Equations différentiellesSystèmes dynamiques Résumé : Dans les applications, les équations différentielles qui s’introduisent le plus naturellement sont les équations différentielles autonomes, qui sont étudiées dans le cadre des systèmes dynamiques () et les équations différentielles linéaires (), éventuellement non autonomes, qui modélisent des systèmes entretenus simples. Les équations différentielles les plus générales, celles qui font l’objet du présent article, offrent néanmoins le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par une loi continue. Leur étude permet en outre, sous des hypothèses plus fortes, d’obtenir les résultats théoriques nécessaires à l’analyse des équations autonomes. En outre, les techniques qualitatives qui leur sont dédiées s’appliquent, mutatis mutandis, aux équations différentielles autonomes et linéaires. L’usage de l’ordinateur peut être d’un grand secours, tant dans la résolution exacte et approchée de ces équations que dans leur étude qualitative. Le calcul exact (formel) des solutions de certaines classes d’équations différentielles fera l’objet d’un article séparé. REFERENCE : AF 652 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Titre : Equations différentielles linéaires Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-18 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Différentielles--Linéaires Résumé : Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.REFERENCE : AF103 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations différentielles linéaires [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-18 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Mots-clés : Equations--Différentielles--Linéaires Résumé : Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.REFERENCE : AF103 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
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