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Mouvement brownien et calcul stochastique / Méléard, Sylvie in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM3 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM3 (Trimestriel) . - 1-24 p. Titre : Mouvement brownien et calcul stochastique Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-24 p. Note générale : Mathéamtiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul  stochastiqueMouvement  brownien Résumé : Le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements dont l’évolution au cours du temps est si désordonnée qu’il semble difficile de la prévoir, même pour un temps très court, tel le mouvement d’une particule microscopique en suspension dans un liquide et soumise à l’agitation thermique. On trouvera dans l’article [AF 165], « Probabilités. Présentation », davantage de précisions sur « l’invention » du mouvement brownien. Celui-ci joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, d’une part parce que, dans de nombreux problèmes appliqués, le mouvement brownien sert à modéliser les erreurs ou les perturbations aléatoires, et d’autre part parce que le mouvement brownien ou les processus de diffusion qui en découlent permettent de construire des modèles simples sur lesquels des calculs peuvent être faits. Le calcul stochastique, ou calcul d’Itô, du nom d’un des pionniers en ce domaine, est en fait un calcul d’intégrale par rapport au mouvement brownien. Ce dernier étant une fonction qui n’est pas à variation finie, cette notion d’intégrale n’est pas usuelle et sa définition en est probabiliste. Elle permet en particulier de définir la notion d’équation différentielle stochastique qui est une équation obtenue par la perturbation aléatoire d’une équation différentielle ordinaire. Les solutions de ces équations définissent de nouveaux processus, appelés processus de diffusion, et qui sont à la base du calcul probabiliste moderne. Ces processus sont souvent markoviens, au sens où leur comportement futur, conditionnellement au passé, ne dépend en fait que de l’état présent. Cette propriété, dite de Markov, est souvent vérifiée dans la réalité, en particulier, en physique, dans les réseaux de télécommunication, ou en mathématiques financières. Ainsi, les processus de diffusion sont précieux dans la modélisation de nombreux phénomènes aléatoires. On verra par ailleurs qu’il existe des liens importants entre leur loi et certaines équations aux dérivées partielles. Ces liens sont à la base de beaucoup de développements récents liant des résultats d’analyse et des résultats probabilistes. Les deux premiers paragraphes de cet article constituent les prérequis indispensables pour définir la notion de mouvement brownien et en comprendre les propriétés. On suppose connus ici les résultats probabilistes développés dans l’article [AF 166] « Probabilités. Concepts fondamentaux ». Ensuite, on définira le mouvement brownien à travers plusieurs approches, qui permettront d’en déduire les propriétés et d’en montrer toute sa richesse. On introduira alors l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien. La partie suivante est consacrée à l’étude des équations différentielles stochastiques. Des applications à l’étude des équations aux dérivées partielles ou en mathématiques financières sont données en fin d’article. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 566 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Mouvement brownien et calcul stochastique [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-24 p. Mathéamtiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM3 (Trimestriel) . - 1-24 p. Mots-clés : Calcul  stochastiqueMouvement  brownien Résumé : Le mouvement brownien est associé à l’analyse de mouvements dont l’évolution au cours du temps est si désordonnée qu’il semble difficile de la prévoir, même pour un temps très court, tel le mouvement d’une particule microscopique en suspension dans un liquide et soumise à l’agitation thermique. On trouvera dans l’article [AF 165], « Probabilités. Présentation », davantage de précisions sur « l’invention » du mouvement brownien. Celui-ci joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, d’une part parce que, dans de nombreux problèmes appliqués, le mouvement brownien sert à modéliser les erreurs ou les perturbations aléatoires, et d’autre part parce que le mouvement brownien ou les processus de diffusion qui en découlent permettent de construire des modèles simples sur lesquels des calculs peuvent être faits. Le calcul stochastique, ou calcul d’Itô, du nom d’un des pionniers en ce domaine, est en fait un calcul d’intégrale par rapport au mouvement brownien. Ce dernier étant une fonction qui n’est pas à variation finie, cette notion d’intégrale n’est pas usuelle et sa définition en est probabiliste. Elle permet en particulier de définir la notion d’équation différentielle stochastique qui est une équation obtenue par la perturbation aléatoire d’une équation différentielle ordinaire. Les solutions de ces équations définissent de nouveaux processus, appelés processus de diffusion, et qui sont à la base du calcul probabiliste moderne. Ces processus sont souvent markoviens, au sens où leur comportement futur, conditionnellement au passé, ne dépend en fait que de l’état présent. Cette propriété, dite de Markov, est souvent vérifiée dans la réalité, en particulier, en physique, dans les réseaux de télécommunication, ou en mathématiques financières. Ainsi, les processus de diffusion sont précieux dans la modélisation de nombreux phénomènes aléatoires. On verra par ailleurs qu’il existe des liens importants entre leur loi et certaines équations aux dérivées partielles. Ces liens sont à la base de beaucoup de développements récents liant des résultats d’analyse et des résultats probabilistes. Les deux premiers paragraphes de cet article constituent les prérequis indispensables pour définir la notion de mouvement brownien et en comprendre les propriétés. On suppose connus ici les résultats probabilistes développés dans l’article [AF 166] « Probabilités. Concepts fondamentaux ». Ensuite, on définira le mouvement brownien à travers plusieurs approches, qui permettront d’en déduire les propriétés et d’en montrer toute sa richesse. On introduira alors l’intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien. La partie suivante est consacrée à l’étude des équations différentielles stochastiques. Des applications à l’étude des équations aux dérivées partielles ou en mathématiques financières sont données en fin d’article. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 566 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]

Probabilités / Méléard, Sylvie in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel)

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p. Titre : Probabilités : concepts fondamentaux Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-24 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Probabilités  Concepts  fondamentaux Résumé : On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...). Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF166 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2002 [article] Probabilités : concepts fondamentaux [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-24 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p. Mots-clés : Probabilités  Concepts  fondamentaux Résumé : On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...). Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF166 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2002

Probabilités / Méléard, Sylvie in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-6 p. Titre : Probabilités : présentation Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-6 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Probabilités--Analyse  mathématique Résumé : L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires. Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 165 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Probabilités : présentation [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-6 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-6 p. Mots-clés : Probabilités--Analyse  mathématique Résumé : L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires. Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 165 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]

Théorie de la mesure et intégration / Méléard, Sylvie in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p. Titre : Théorie de la mesure et intégration Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Mesure--Intégration--Fonctions  mesurables--Probabilités Résumé : La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1. Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 164 Date : Juillet 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Théorie de la mesure et intégration [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-8 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p. Mots-clés : Mesure--Intégration--Fonctions  mesurables--Probabilités Résumé : La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1. Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 164 Date : Juillet 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]