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Analyse combinatoire approfondie / Comtet, Louis in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-19 p. Titre : Analyse combinatoire approfondie Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-19 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire  Patritions--Permutation--Probabilisation Résumé : La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’équivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini à n éléments, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on préfère le nombre de relations d’équivalence à k classes sur N, noté S(n,k), n’est autre que le célèbre nombre de Stirling de seconde espèce. Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algèbre, en analyse, en probabilités, en statistique... Il en sera fait ici une étude particulièrement détaillée. La notion de partition d’un entier n est de nature plus théorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque généralisation du fameux problème de l’échange de monnaie : de combien de manières peut-on réaliser un montant de n francs avec des pièces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les séries entières, on n’arriverait à rien, comme Euler l’a montré. Cette théorie, dans sa généralité, touche au moins autant à l’arithmétique qu’à la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu. Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force détails, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de première espèce s(n,k), les nombres eulériens A(n,k) qui comptent les permutations de par montées, les nombres tangents a2n+1, coefficients de Taylor du développement en série entière Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 202 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire approfondie [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-19 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-19 p. Mots-clés : Analyse--Combinatoire  Patritions--Permutation--Probabilisation Résumé : La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’équivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini à n éléments, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on préfère le nombre de relations d’équivalence à k classes sur N, noté S(n,k), n’est autre que le célèbre nombre de Stirling de seconde espèce. Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algèbre, en analyse, en probabilités, en statistique... Il en sera fait ici une étude particulièrement détaillée. La notion de partition d’un entier n est de nature plus théorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque généralisation du fameux problème de l’échange de monnaie : de combien de manières peut-on réaliser un montant de n francs avec des pièces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les séries entières, on n’arriverait à rien, comme Euler l’a montré. Cette théorie, dans sa généralité, touche au moins autant à l’arithmétique qu’à la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu. Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force détails, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de première espèce s(n,k), les nombres eulériens A(n,k) qui comptent les permutations de par montées, les nombres tangents a2n+1, coefficients de Taylor du développement en série entière Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 202 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]

Analyse combinatoire avancée / Comtet, Louis in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-29 p. Titre : Analyse combinatoire avancée Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-29 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire  avancée Résumé : Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large. Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails. Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 201 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire avancée [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-29 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-29 p. Mots-clés : Analyse--Combinatoire  avancée Résumé : Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large. Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails. Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 201 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]

Analyse combinatoire elémentaire / Comtet, Louis in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel) 

Public ISBD [article]  in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-26 p. Titre : Analyse combinatoire elémentaire Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-26 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire  Triangle--Pascal Résumé : L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme). Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique. Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)n au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre... Après cela, les XVIII e et XIX e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950. L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics... Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »... N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien... À chacun de choisir ! Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 200 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire elémentaire [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-26 p. Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-26 p. Mots-clés : Analyse--Combinatoire  Triangle--Pascal Résumé : L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme). Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique. Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)n au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre... Après cela, les XVIII e et XIX e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950. L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics... Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »... N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien... À chacun de choisir ! Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 200 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]