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Ajouter le résultat dans votre panierScilab, un logiciel libre de calcul scientifique / Claude Gomez in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM1 (Trimestriel)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-5 p.
Titre : Scilab, un logiciel libre de calcul scientifique Type de document : texte imprimé Auteurs : Claude Gomez, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-5 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Scilab--LogicielCalcul scientifique Résumé : Scilab est un logiciel libre et open source de calcul numérique comparable au logiciel Matlab. Développé à l'origine par des chercheurs, il est depuis mai 2003 pris en charge par le consortium Scilab composé d'industriels et d'universitaires.
Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : Techno. IN31 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Scilab, un logiciel libre de calcul scientifique [texte imprimé] / Claude Gomez, Auteur . - 2007 . - 1-5 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-5 p.
Mots-clés : Scilab--LogicielCalcul scientifique Résumé : Scilab est un logiciel libre et open source de calcul numérique comparable au logiciel Matlab. Développé à l'origine par des chercheurs, il est depuis mai 2003 pris en charge par le consortium Scilab composé d'industriels et d'universitaires.
Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : Techno. IN31 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Unités légales et facteurs de conversion Type de document : texte imprimé Auteurs : Courtier, Jean-Claude, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Facteurs--Conversion--Unités--légales Résumé : Une unité de mesure est une grandeur particulière, choisie par convention pour pouvoir attribuer, par comparaison, des valeurs numériques à des grandeurs de même nature.
Dans un système de grandeurs, lorsque les relations entre les unités sont les mêmes que celles qui existent entre les grandeurs, on dit que le système d’unités ainsi formé est cohérent . C’est le cas pour le système international d’unités, SI, pratiquement utilisé dans le monde entier et d’application légale en France.
Dans le passé, il n’en a pas toujours été ainsi. De très nombreuses unités, non cohérentes, ont été utilisées. Certaines sont encore en usage, par exemple dans le grand public aux États-Unis. C’est la raison pour laquelle le présent article donne les facteurs de conversion pour les plus importantes unités hors SI, parfois encore utilisées.
En France même, quelques unités hors SI, souvent dans des domaines spécialisés, peuvent légalement être utilisées. C’est le cas, par exemple, du carat métrique, dans le domaine des pierres précieuses, mais aussi de la minute, de l’heure, du jour, dont l’usage continuera évidemment de subsister.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : 24 ISSN : 1776-0860 Date : Mai 1994 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Unités légales et facteurs de conversion [texte imprimé] / Courtier, Jean-Claude, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Facteurs--Conversion--Unités--légales Résumé : Une unité de mesure est une grandeur particulière, choisie par convention pour pouvoir attribuer, par comparaison, des valeurs numériques à des grandeurs de même nature.
Dans un système de grandeurs, lorsque les relations entre les unités sont les mêmes que celles qui existent entre les grandeurs, on dit que le système d’unités ainsi formé est cohérent . C’est le cas pour le système international d’unités, SI, pratiquement utilisé dans le monde entier et d’application légale en France.
Dans le passé, il n’en a pas toujours été ainsi. De très nombreuses unités, non cohérentes, ont été utilisées. Certaines sont encore en usage, par exemple dans le grand public aux États-Unis. C’est la raison pour laquelle le présent article donne les facteurs de conversion pour les plus importantes unités hors SI, parfois encore utilisées.
En France même, quelques unités hors SI, souvent dans des domaines spécialisés, peuvent légalement être utilisées. C’est le cas, par exemple, du carat métrique, dans le domaine des pierres précieuses, mais aussi de la minute, de l’heure, du jour, dont l’usage continuera évidemment de subsister.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : 24 ISSN : 1776-0860 Date : Mai 1994 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Titre : Corps R des nombres réels Type de document : texte imprimé Auteurs : Debeaumarché, Gérard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-20 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Corps--Nombres--Réels Résumé : On présente dans cet article les principales propriétés du corps af35eq6 des nombres réels. Celles-ci sont en effet fondamentales pour toute l"étude de l"analyse réelle ou complexe.
On commence, d’abord, par définir la notion de corps, supposé ici commutatif, en rappelant les principales règles de calcul communes à tous les corps, avec notamment la formule donnant la somme des n + 1 premiers termes d"une série géométrique ou la formule du binôme de Newton qui sont essentielles à connaître.
On introduit, ensuite, le concept d"ensemble ordonné, en insistant sur les notions de bornes supérieure et inférieure qu"il convient de bien maîtriser dans le cas de af35eq7, et on donne la définition d"un corps totalement ordonné en introduisant au passage la notion de valeur absolue.
Après avoir montré certaines insuffisances du corps af35eq8 des nombres rationnels, on définit le corps des nombres réels comme étant le corps totalement ordonné vérifiant les axiomes équivalents de la borne supérieure et de la borne inférieure. Mais la construction de af35eq9 – dont le principe remonte à 1872, que ce soit par la méthode des coupures de Dedekind ou par la méthode de Cantor de passage au quotient de l"anneau des suites de Cauchy de nombres rationnels – a été renvoyée en annexe vu son caractère technique et son intérêt somme toute assez modeste pour l’utilisation théorique et pratique des nombres réels. On établit alors les principales propriétés de af35eq10, notamment l"existence des racines carrées (et plus généralement des racines nièmes pour les nombres positifs) en rappelant au passage le principe de résolution des équations du second degré et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis la convergence dans af35eq11 des suites mono-tones bornées et des suites de Cauchy de nombres réels.
L’exposé s’achève par l"approximation des nombres réels par les nombres rationnels ; on développe l’approximation des réels :
* d"une part, par les suites de leurs valeurs décimales approchées à 10 –n près, ce qui est important pour l’utilisation pratique des nombres réels ;
* d"autre part, par la suite de leurs fractions continuées (ou fractions continues) qui constituent, en un sens qui sera précisé, les meilleures approximations des nombres réels par les nombres rationnels.
On établit enfin à titre d’exemple l’irrationalité des nombres e et p , en indiquant (mais sans démonstration) leur caractère transcendant.REFERENCE : AF35 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Corps R des nombres réels [texte imprimé] / Debeaumarché, Gérard, Auteur . - 2007 . - 1-20 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Mots-clés : Corps--Nombres--Réels Résumé : On présente dans cet article les principales propriétés du corps af35eq6 des nombres réels. Celles-ci sont en effet fondamentales pour toute l"étude de l"analyse réelle ou complexe.
On commence, d’abord, par définir la notion de corps, supposé ici commutatif, en rappelant les principales règles de calcul communes à tous les corps, avec notamment la formule donnant la somme des n + 1 premiers termes d"une série géométrique ou la formule du binôme de Newton qui sont essentielles à connaître.
On introduit, ensuite, le concept d"ensemble ordonné, en insistant sur les notions de bornes supérieure et inférieure qu"il convient de bien maîtriser dans le cas de af35eq7, et on donne la définition d"un corps totalement ordonné en introduisant au passage la notion de valeur absolue.
Après avoir montré certaines insuffisances du corps af35eq8 des nombres rationnels, on définit le corps des nombres réels comme étant le corps totalement ordonné vérifiant les axiomes équivalents de la borne supérieure et de la borne inférieure. Mais la construction de af35eq9 – dont le principe remonte à 1872, que ce soit par la méthode des coupures de Dedekind ou par la méthode de Cantor de passage au quotient de l"anneau des suites de Cauchy de nombres rationnels – a été renvoyée en annexe vu son caractère technique et son intérêt somme toute assez modeste pour l’utilisation théorique et pratique des nombres réels. On établit alors les principales propriétés de af35eq10, notamment l"existence des racines carrées (et plus généralement des racines nièmes pour les nombres positifs) en rappelant au passage le principe de résolution des équations du second degré et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis la convergence dans af35eq11 des suites mono-tones bornées et des suites de Cauchy de nombres réels.
L’exposé s’achève par l"approximation des nombres réels par les nombres rationnels ; on développe l’approximation des réels :
* d"une part, par les suites de leurs valeurs décimales approchées à 10 –n près, ce qui est important pour l’utilisation pratique des nombres réels ;
* d"autre part, par la suite de leurs fractions continuées (ou fractions continues) qui constituent, en un sens qui sera précisé, les meilleures approximations des nombres réels par les nombres rationnels.
On établit enfin à titre d’exemple l’irrationalité des nombres e et p , en indiquant (mais sans démonstration) leur caractère transcendant.REFERENCE : AF35 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-17 p.
Titre : Polynômes : étude algébrique Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-17 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Polynômes--algébrique Résumé : Les polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite.
Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe.
En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article.
L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.REFERENCE : AF 37 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1998 En ligne : http://techniques-ingenieur.fr [article] Polynômes : étude algébrique [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-17 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-17 p.
Mots-clés : Polynômes--algébrique Résumé : Les polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite.
Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des polynômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abstraite, la géométrie algébrique complexe.
En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation, de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet d’un autre article.
L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre commutative.REFERENCE : AF 37 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1998 En ligne : http://techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Titre : Racines des polynômes Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-16 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Racines--Polynômes--Estimation Résumé : Les polynômes sont, d’une part, un outil privilégié de l’algèbre, d’autre part, un moyen commode et puissant d’investigation en analyse. Dans les deux cas, les racines des polynômes en une indéterminée jouent un rôle fondamental, soit dans le cadre arithmético-algébrique des extensions de corps, soit dans les nombreux problèmes numériques liés à l’approximation par des polynômes : interpolation, résolution d’équations numériques, par exemple. Bien entendu, de nombreux autres domaines sont concernés : recherche des valeurs propres d’une matrice et, partant, étude des systèmes dynamiques discrets ou continus, linéaires ou non ; arithmétique traditionnelle, géométrie complexe, géométrie algébrique réelle en sont des spécimens.
L’objet de cet article est de donner quelques outils assez généraux liés à la localisation, la séparation ou l’estimation des racines de polynômes, essentiellement à coefficients réels ou complexes. Seules les méthodes spécifiques aux polynômes seront étudiées, celles qui s’appliquent dans des situations plus générales faisant l’objet d’un autre article.REFERENCE : AF38 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Racines des polynômes [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-16 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Mots-clés : Racines--Polynômes--Estimation Résumé : Les polynômes sont, d’une part, un outil privilégié de l’algèbre, d’autre part, un moyen commode et puissant d’investigation en analyse. Dans les deux cas, les racines des polynômes en une indéterminée jouent un rôle fondamental, soit dans le cadre arithmético-algébrique des extensions de corps, soit dans les nombreux problèmes numériques liés à l’approximation par des polynômes : interpolation, résolution d’équations numériques, par exemple. Bien entendu, de nombreux autres domaines sont concernés : recherche des valeurs propres d’une matrice et, partant, étude des systèmes dynamiques discrets ou continus, linéaires ou non ; arithmétique traditionnelle, géométrie complexe, géométrie algébrique réelle en sont des spécimens.
L’objet de cet article est de donner quelques outils assez généraux liés à la localisation, la séparation ou l’estimation des racines de polynômes, essentiellement à coefficients réels ou complexes. Seules les méthodes spécifiques aux polynômes seront étudiées, celles qui s’appliquent dans des situations plus générales faisant l’objet d’un autre article.REFERENCE : AF38 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Titre : Fractions rationnelles et séries formelles Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-13 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Fractions--rationnelles--Séries--formelles Résumé : Bien que les polynômes soient les outils les plus élémentaires du calcul formel, ils ne suffisent pas à exprimer complètement les opérations générales de l’algèbre commutative. C’est pourquoi, pour laisser la possibilité d’effectuer des divisions, il est naturel d’introduire la notion de fraction rationnelle , qui est au polynôme ce que la fraction (appelée encore nombre rationnel) est à l’entier. On décèle alors un procédé général de construction, celui du corps des fractions d’un anneau intègre.
En outre, les développements limités, les développements en série entière, et d’autres développements menés soit à un ordre arbitraire, soit de manière illimitée, nécessitent l’introduction d’outils adaptés, qui s’expriment dans le cadre des séries formelles .
Comme les polynômes, les fractions rationnelles et les séries formelles sont des objets particulièrement bien adaptés à des manipulations formelles, que l’on effectuera grâce à un logiciel.REFERENCE : AF39 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2000 [article] Fractions rationnelles et séries formelles [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-13 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Mots-clés : Fractions--rationnelles--Séries--formelles Résumé : Bien que les polynômes soient les outils les plus élémentaires du calcul formel, ils ne suffisent pas à exprimer complètement les opérations générales de l’algèbre commutative. C’est pourquoi, pour laisser la possibilité d’effectuer des divisions, il est naturel d’introduire la notion de fraction rationnelle , qui est au polynôme ce que la fraction (appelée encore nombre rationnel) est à l’entier. On décèle alors un procédé général de construction, celui du corps des fractions d’un anneau intègre.
En outre, les développements limités, les développements en série entière, et d’autres développements menés soit à un ordre arbitraire, soit de manière illimitée, nécessitent l’introduction d’outils adaptés, qui s’expriment dans le cadre des séries formelles .
Comme les polynômes, les fractions rationnelles et les séries formelles sont des objets particulièrement bien adaptés à des manipulations formelles, que l’on effectuera grâce à un logiciel.REFERENCE : AF39 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2000
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-31 p.
Titre : Calcul différentiel Type de document : texte imprimé Auteurs : Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-31 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul--Différentiel--Physiques--Equations Résumé : es fondements du calcul différentiel, l'introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l'une de l'autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C'est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d'une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l'Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIe siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d'Alembert (1717-1783) étudie l'équation des oscillations d'une chaîne pesante. En 1746, il écrit l'équation des cordes vibrantes (?2 y/?t2 = ?2 y/?x2 ) qu'il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s'intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l'étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d'actualité.REFERENCE : AF55 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr [article] Calcul différentiel [texte imprimé] / Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-31 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-31 p.
Mots-clés : Calcul--Différentiel--Physiques--Equations Résumé : es fondements du calcul différentiel, l'introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l'une de l'autre remontent au dix-septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647-1716). C'est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d'une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l'Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIIIe siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d'Alembert (1717-1783) étudie l'équation des oscillations d'une chaîne pesante. En 1746, il écrit l'équation des cordes vibrantes (?2 y/?t2 = ?2 y/?x2 ) qu'il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s'intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l'étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d'actualité.REFERENCE : AF55 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Titre : Familles sommables Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-14 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Familles--Sommables--Sommation-- Résumé : La loi d’addition sur les scalaires ou les vecteurs vérifie certaines propriétés, telles que l’associativité et la commutativité, qui permettent de définir naturellement les sommes de familles finies, auxquelles les propriétés de l’addition, considérée comme opération binaire, s’étendent aisément. Les difficultés surviennent lorsque l’on envisage d’étendre la sommation à des familles infinies discrètes, dont l’archétype est la suite indexée par N. Si l’on veut en effet que cette sommation soit d’un usage commode, on doit lui conserver les propriétés de la sommation finie : associativité, commutativité par exemple. Une telle conservation est possible au prix d’une certaine limitation des familles étudiées.
Pour ce faire, on étudie, dans un premier temps, les familles positives, pour lesquelles il n’existe qu’un phénomène d’accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d’attribuer à la famille une somme, finie ou infinie. On se limite ensuite à l’étude des familles, scalaires ou vectorielles, dont la famille des modules (ou des normes) a une somme finie. Il n’est alors pas difficile d’attribuer à la famille initiale une somme scalaire (ou vectorielle) qui possède toutes les vertus souhaitables : c’est la théorie des familles sommables , qui fait l’objet du présent article.
Lorsque la famille n’est pas sommable, on devra développer une théorie ad hoc qui prenne en compte le problème d’origine. Très fréquemment, la façon dont la famille est indexée founit une indication. Si des charges électriques équidistantes sont disposées sur une demi-droite, rien n’est plus naturel que de les numéroter, c’est-à-dire de les indexer par N. Si l’on considère le potentiel développé en un point, par exemple l’origine de la demi-droite, on pourra considérer d’abord la somme des potentiels correspondant aux n premières charges, puis examiner la limite de ces sommes lorsque n tend vers l’infini. Cette façon de voir conduit à la théorie des séries , évoquée dans l’article « Procédés sommatoires » [AF 73].
Lorsque ce procédé diverge (c’est-à-dire ne permet pas d’attribuer une somme à la suite), on peut étudier la suite des moyennes arithmétiques des termes de la suite (procédé de Cesaro), ou encore introduire la série entière génératrice associée à la suite, puis examiner la limite de cette série entière lorsque la variable tend vers 1. On obtient alors le procédé de sommation d’Abel.
Ces procédés et d’autres, analogues, présentent une certaine cohérence, en ceci qu’en cas de convergence de deux procédés, les sommes attribuées seront égales, y compris lorsque la « somme » est +∞, dans le cas des familles posi-tives. Il existe cependant d’autres méthodes, qui permettent d’attribuer des sommes finies à des familles positives dont la somme usuelle serait infinieREFERENCE : AF72 DEWEY : 500 Date : Octobre 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Familles sommables [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-14 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Mots-clés : Familles--Sommables--Sommation-- Résumé : La loi d’addition sur les scalaires ou les vecteurs vérifie certaines propriétés, telles que l’associativité et la commutativité, qui permettent de définir naturellement les sommes de familles finies, auxquelles les propriétés de l’addition, considérée comme opération binaire, s’étendent aisément. Les difficultés surviennent lorsque l’on envisage d’étendre la sommation à des familles infinies discrètes, dont l’archétype est la suite indexée par N. Si l’on veut en effet que cette sommation soit d’un usage commode, on doit lui conserver les propriétés de la sommation finie : associativité, commutativité par exemple. Une telle conservation est possible au prix d’une certaine limitation des familles étudiées.
Pour ce faire, on étudie, dans un premier temps, les familles positives, pour lesquelles il n’existe qu’un phénomène d’accumulation, sans compensation, qui permet dans tous les cas d’attribuer à la famille une somme, finie ou infinie. On se limite ensuite à l’étude des familles, scalaires ou vectorielles, dont la famille des modules (ou des normes) a une somme finie. Il n’est alors pas difficile d’attribuer à la famille initiale une somme scalaire (ou vectorielle) qui possède toutes les vertus souhaitables : c’est la théorie des familles sommables , qui fait l’objet du présent article.
Lorsque la famille n’est pas sommable, on devra développer une théorie ad hoc qui prenne en compte le problème d’origine. Très fréquemment, la façon dont la famille est indexée founit une indication. Si des charges électriques équidistantes sont disposées sur une demi-droite, rien n’est plus naturel que de les numéroter, c’est-à-dire de les indexer par N. Si l’on considère le potentiel développé en un point, par exemple l’origine de la demi-droite, on pourra considérer d’abord la somme des potentiels correspondant aux n premières charges, puis examiner la limite de ces sommes lorsque n tend vers l’infini. Cette façon de voir conduit à la théorie des séries , évoquée dans l’article « Procédés sommatoires » [AF 73].
Lorsque ce procédé diverge (c’est-à-dire ne permet pas d’attribuer une somme à la suite), on peut étudier la suite des moyennes arithmétiques des termes de la suite (procédé de Cesaro), ou encore introduire la série entière génératrice associée à la suite, puis examiner la limite de cette série entière lorsque la variable tend vers 1. On obtient alors le procédé de sommation d’Abel.
Ces procédés et d’autres, analogues, présentent une certaine cohérence, en ceci qu’en cas de convergence de deux procédés, les sommes attribuées seront égales, y compris lorsque la « somme » est +∞, dans le cas des familles posi-tives. Il existe cependant d’autres méthodes, qui permettent d’attribuer des sommes finies à des familles positives dont la somme usuelle serait infinieREFERENCE : AF72 DEWEY : 500 Date : Octobre 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Titre : Procédés sommatoires : les séries Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-12 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Procédés--Sommatoires--Asymptotiques Résumé : Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d'éléments d'un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article [AF 72] de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu'elle ne l'est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l'indexation de l"ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu"il s'agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s'agit soit d'une série indexée par N, soit même de la limite de sommes symétriques.
Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l'exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d'étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.
Dans l"article « Développements asymptotiques » [AF 74] seront abordés les procédés d'évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d'autres procédés de sommation.REFERENCE : AF73 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Procédés sommatoires : les séries [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-12 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Mots-clés : Procédés--Sommatoires--Asymptotiques Résumé : Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d'éléments d'un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article [AF 72] de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu'elle ne l'est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l'indexation de l"ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu"il s'agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s'agit soit d'une série indexée par N, soit même de la limite de sommes symétriques.
Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l'exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d'étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.
Dans l"article « Développements asymptotiques » [AF 74] seront abordés les procédés d'évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d'autres procédés de sommation.REFERENCE : AF73 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-15 p.
Titre : Procédés sommatoires : développements asymptotiques Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-15 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Procédés--Sommatoires--Développements--Asymptotiques Résumé : Lorsque l'on a affaire à une somme, qu'elle soit finie ou infinie, qu'elle dépende de la borne ou d'un paramètre, il est fréquent que l'on ne s'y intéresse que du point de vue de son comportement au voisinage d'un point particulier, à distance finie ou infinie. Cela suppose de disposer de méthodes d'évaluation asymptotique. Nous introduirons d'abord le langage de la comparaison asymptotique, d'ailleurs omniprésent en analyse. Nous étudierons ensuite quelques méthodes assez générales, qui seront illustrées par des exemples. Souvent, les procédés conduisent à des calculs plutôt compliqués, que les logiciels de calcul formel ne sont pas toujours capables d'effectuer à l'heure actuelle. REFERENCE : AF74 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Procédés sommatoires : développements asymptotiques [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-15 p.
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Langues : Français (fre)
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Mots-clés : Procédés--Sommatoires--Développements--Asymptotiques Résumé : Lorsque l'on a affaire à une somme, qu'elle soit finie ou infinie, qu'elle dépende de la borne ou d'un paramètre, il est fréquent que l'on ne s'y intéresse que du point de vue de son comportement au voisinage d'un point particulier, à distance finie ou infinie. Cela suppose de disposer de méthodes d'évaluation asymptotique. Nous introduirons d'abord le langage de la comparaison asymptotique, d'ailleurs omniprésent en analyse. Nous étudierons ensuite quelques méthodes assez générales, qui seront illustrées par des exemples. Souvent, les procédés conduisent à des calculs plutôt compliqués, que les logiciels de calcul formel ne sont pas toujours capables d'effectuer à l'heure actuelle. REFERENCE : AF74 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-23 p.
Titre : Calcul matriciel Type de document : texte imprimé Auteurs : Debeaumarché, Gérard, Auteur ; Lino, Danièle, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-23 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul--Matriciel--Mathématiques--Equations Résumé : De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.REFERENCE : AF86 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1998 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Calcul matriciel [texte imprimé] / Debeaumarché, Gérard, Auteur ; Lino, Danièle, Auteur . - 2007 . - 1-23 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-23 p.
Mots-clés : Calcul--Matriciel--Mathématiques--Equations Résumé : De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires
Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.REFERENCE : AF86 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1998 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-25 p.
Titre : Réduction des endomorphismes Type de document : texte imprimé Auteurs : Mneimné, Rached, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-25 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Réduction--Endomorphismes--Algèbre linéaire--Equations linéaires Résumé : 'algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l'étude des systèmes d'équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d'Euclide, une fois gommé l'effet des translations, et, éventuellement, oubliée l'idée de distance. La réduction des endomorphismes n'apparaît que plus tard, et c'est lors de l'examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.
L'algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d'intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s'occupe de matrices ou encore d'espaces vectoriels et d'applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l'examen de quatre, voire cinq, principales relations d'équivalence définies entre matrices. Il s'agit en fait :
* de la r-équivalence (A = PBQ) ;
* de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;
* de la similitude (A = PBP –1 ), qui est l'objet de notre étude ;
* de la congruence (A = PBt P).
Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale
A = OBO –1 = OBt O .
Il va s'agir dès lors de chercher à dégager des critères d'appartenance ou de non-appartenance à une classe d'équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l'action du groupe adéquat à la situation.
carre Pour la similitude , deux aspects sont à prendre en compte.
Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d'ordre n à coefficients dans le corps K, à trouver dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c'est possible, ou, à défaut, tridiagonale ou triangulaire, etc.), et l'on dit alors la réduire , puis trouver un élément du groupe linéaire GL(n, K) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée, et l'on parle alors de matrice de passage . Cela correspond, pour l'endomorphisme de Kn canoniquement associé à A, à un changement de base.
Le deuxième aspect , qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l'examen, pour une matrice donnée A, de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, mais aussi de la géométrie de l'ensemble de toutes les classes de similitude, c'est-à-dire l'espace des orbites.
carre L'étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d'algorithmique ou d'approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe, dans un premier temps, par le calcul d'un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C'est la réduction des endomorphismes « effective ».
Enfin, le chapitre de la réduction s'articule sur le chapitre de la réduction des formes quadratiques (la relation de congruence pour les matrices symétriques). C'est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou, plus généralement, des opérateurs normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s'y rattachent dépendent énormément de l'arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de af87eq6 et de af87eq7.
carre Quelques applications classiques, en physique ou ailleurs, de la similitude devraient être ici évoquées. Les axes d'inertie d'un solide ou les états propres d'un système de masses avec ressorts illustrent les idées subtiles de la théorie mais ne sont pas des exemples fondamentaux d'application ; on se limitera en fait à l'exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l'intervention de la réduction dans la théorie de Fuchs. Enfin, on se doit d'indiquer que l'étude des systèmes dynamiques et de la nature de leurs points d'équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend largement de la réduction des endomorphismes et, notamment, des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associéeNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF87 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Réduction des endomorphismes [texte imprimé] / Mneimné, Rached, Auteur . - 2007 . - 1-25 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-25 p.
Mots-clés : Réduction--Endomorphismes--Algèbre linéaire--Equations linéaires Résumé : 'algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l'étude des systèmes d'équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d'Euclide, une fois gommé l'effet des translations, et, éventuellement, oubliée l'idée de distance. La réduction des endomorphismes n'apparaît que plus tard, et c'est lors de l'examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.
L'algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d'intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s'occupe de matrices ou encore d'espaces vectoriels et d'applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l'examen de quatre, voire cinq, principales relations d'équivalence définies entre matrices. Il s'agit en fait :
* de la r-équivalence (A = PBQ) ;
* de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;
* de la similitude (A = PBP –1 ), qui est l'objet de notre étude ;
* de la congruence (A = PBt P).
Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale
A = OBO –1 = OBt O .
Il va s'agir dès lors de chercher à dégager des critères d'appartenance ou de non-appartenance à une classe d'équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l'action du groupe adéquat à la situation.
carre Pour la similitude , deux aspects sont à prendre en compte.
Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d'ordre n à coefficients dans le corps K, à trouver dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c'est possible, ou, à défaut, tridiagonale ou triangulaire, etc.), et l'on dit alors la réduire , puis trouver un élément du groupe linéaire GL(n, K) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée, et l'on parle alors de matrice de passage . Cela correspond, pour l'endomorphisme de Kn canoniquement associé à A, à un changement de base.
Le deuxième aspect , qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l'examen, pour une matrice donnée A, de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, mais aussi de la géométrie de l'ensemble de toutes les classes de similitude, c'est-à-dire l'espace des orbites.
carre L'étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d'algorithmique ou d'approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe, dans un premier temps, par le calcul d'un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C'est la réduction des endomorphismes « effective ».
Enfin, le chapitre de la réduction s'articule sur le chapitre de la réduction des formes quadratiques (la relation de congruence pour les matrices symétriques). C'est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou, plus généralement, des opérateurs normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s'y rattachent dépendent énormément de l'arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de af87eq6 et de af87eq7.
carre Quelques applications classiques, en physique ou ailleurs, de la similitude devraient être ici évoquées. Les axes d'inertie d'un solide ou les états propres d'un système de masses avec ressorts illustrent les idées subtiles de la théorie mais ne sont pas des exemples fondamentaux d'application ; on se limitera en fait à l'exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l'intervention de la réduction dans la théorie de Fuchs. Enfin, on se doit d'indiquer que l'étude des systèmes dynamiques et de la nature de leurs points d'équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend largement de la réduction des endomorphismes et, notamment, des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associéeNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF87 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Titre : Espaces préhilbertiens Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-13 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Espaces--Préhilbertiens--Physique Résumé : De nombreux problèmes admettent une interprétation variationnelle , c'est-à-dire une formulation dans laquelle une solution du problème traité réalise un extremum pour une certaine fonctionnelle, par exemple l'énergie. Ce point de vue est issu de la physique, mais est très fréquemment rencontré dans d'autres sciences et notamment en mathématiques. D'autre part, un problème posé sous forme d'une équation j (x ) = 0 peut ne pas admettre de solution exacte, et la recherche de solutions approchées conduit là encore à s'intéresser à des objets qui minimisent j , lorsque cette fonction ne s'annule pas : il en est ainsi de la méthode des moindres carrés.
La recherche des extremums d'une fonction présente de nombreuses facettes, mais les deux exemples que nous avons donnés renvoient à un cadre dans lequel la distance est de nature quadratique. Dans le cas de la méthode des moindres carrés, on minimise une norme euclidienne. Le cadre est donc celui des espaces de dimension finie, où la notion de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie est facile à comprendre et à détailler. Dans le cas du minimum de l'énergie, on est conduit à minimiser une fonctionnelle du type af90eq2, où l'argument est une fonction f , réelle ou complexe, dont l'argument est une variable spatiale ou temporelle, cette fonction décrivant un certain ensemble D'défini par les contraintes du problème. En intégrant af90eq3 sur un domaine spatial ou temporel, on définit une quantité qui, lorsque f décrit D , doit être minimisée.
Une telle fonctionnelle dérive en réalité d'un produit scalaire préhilbertien réel ou complexe, et l'on constate que chercher le minimum de af90eq4 sur D revient à chercher la distance de 0 à D pour la norme préhilbertienne associée, ainsi que les f de D qui réalisent ce minimum. Si l'on reste dans le cadre des fonctions de départ (par exemple, celui des fonctions continues), il peut ne pas y avoir de solution, ce qui signifie simplement qu'il n'y a pas de minimum, mais seulement un infimum. Cependant, on constate qu'un tel problème admet toujours une solution unique lorsque D est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace préhilbertien complet, espace que l'on appelle espace de Hilbert . Il reste la difficulté de trouver un tel espace de Hilbert et de l'interpréter. Ce n'est pas notre objet de la résoudre ici, mais l'on doit constater que la théorie de l'intégrale de Lebesgue fournit le cadre idéal pour traiter ces problèmes.
Après avoir donné les résultats généraux relatifs à un espace préhilbertien, nous démontrons le théorème spectral pour les endomorphismes normaux. Puis nous étudions le cas élémentaire des espaces de dimension finie. Enfin, nous établissons les propriétés fondamentales des espaces de Hilbert, en faisant un détour par la projection sur un convexe complet.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF90 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Espaces préhilbertiens [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-13 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Mots-clés : Espaces--Préhilbertiens--Physique Résumé : De nombreux problèmes admettent une interprétation variationnelle , c'est-à-dire une formulation dans laquelle une solution du problème traité réalise un extremum pour une certaine fonctionnelle, par exemple l'énergie. Ce point de vue est issu de la physique, mais est très fréquemment rencontré dans d'autres sciences et notamment en mathématiques. D'autre part, un problème posé sous forme d'une équation j (x ) = 0 peut ne pas admettre de solution exacte, et la recherche de solutions approchées conduit là encore à s'intéresser à des objets qui minimisent j , lorsque cette fonction ne s'annule pas : il en est ainsi de la méthode des moindres carrés.
La recherche des extremums d'une fonction présente de nombreuses facettes, mais les deux exemples que nous avons donnés renvoient à un cadre dans lequel la distance est de nature quadratique. Dans le cas de la méthode des moindres carrés, on minimise une norme euclidienne. Le cadre est donc celui des espaces de dimension finie, où la notion de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie est facile à comprendre et à détailler. Dans le cas du minimum de l'énergie, on est conduit à minimiser une fonctionnelle du type af90eq2, où l'argument est une fonction f , réelle ou complexe, dont l'argument est une variable spatiale ou temporelle, cette fonction décrivant un certain ensemble D'défini par les contraintes du problème. En intégrant af90eq3 sur un domaine spatial ou temporel, on définit une quantité qui, lorsque f décrit D , doit être minimisée.
Une telle fonctionnelle dérive en réalité d'un produit scalaire préhilbertien réel ou complexe, et l'on constate que chercher le minimum de af90eq4 sur D revient à chercher la distance de 0 à D pour la norme préhilbertienne associée, ainsi que les f de D qui réalisent ce minimum. Si l'on reste dans le cadre des fonctions de départ (par exemple, celui des fonctions continues), il peut ne pas y avoir de solution, ce qui signifie simplement qu'il n'y a pas de minimum, mais seulement un infimum. Cependant, on constate qu'un tel problème admet toujours une solution unique lorsque D est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace préhilbertien complet, espace que l'on appelle espace de Hilbert . Il reste la difficulté de trouver un tel espace de Hilbert et de l'interpréter. Ce n'est pas notre objet de la résoudre ici, mais l'on doit constater que la théorie de l'intégrale de Lebesgue fournit le cadre idéal pour traiter ces problèmes.
Après avoir donné les résultats généraux relatifs à un espace préhilbertien, nous démontrons le théorème spectral pour les endomorphismes normaux. Puis nous étudions le cas élémentaire des espaces de dimension finie. Enfin, nous établissons les propriétés fondamentales des espaces de Hilbert, en faisant un détour par la projection sur un convexe complet.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF90 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-19 p.
Titre : Variétés différentielles Type de document : texte imprimé Auteurs : Yebbou, Johan, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-19 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Varriétés--Différentielles--Géométrie Résumé : La géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l'espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales.
Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s'avère vite insuffisant face à la nécessité d'envisager des ensembles de points dépendant d'un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie différentielle moderne.
Dans cet article, nous étudierons d'abord les propriétés des courbes et des surfaces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF95 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Variétés différentielles [texte imprimé] / Yebbou, Johan, Auteur . - 2007 . - 1-19 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-19 p.
Mots-clés : Varriétés--Différentielles--Géométrie Résumé : La géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l'espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales.
Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s'avère vite insuffisant face à la nécessité d'envisager des ensembles de points dépendant d'un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie différentielle moderne.
Dans cet article, nous étudierons d'abord les propriétés des courbes et des surfaces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF95 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-6 p.
Titre : Topologies et mesure Type de document : texte imprimé Auteurs : Godefroy, Gilles, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-6 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Topologie--Mesure--Espaces métriques Résumé : Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100]. REFERENCE : AF99 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Topologies et mesure [texte imprimé] / Godefroy, Gilles, Auteur . - 2007 . - 1-6 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-6 p.
Mots-clés : Topologie--Mesure--Espaces métriques Résumé : Cet article constitue un préliminaire à l’analyse fonctionnelle puisqu’il s’agit de l’étude de la topologie et de la mesure. Pour cela, il faut faire connaissance avec les concepts qui éclairent la formalisation : espaces métriques, espaces complets, espaces compacts, espaces normés et espaces de Banach. Les espaces normés de dimension finie, les espaces de Hilbert et les espaces de Banach non euclidiens font l’objet de l’article suivant [AF 100]. REFERENCE : AF99 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Titre : Analyse fonctionnelle : partie 1 Type de document : texte imprimé Auteurs : Godefroy, Gilles, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-14 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Fonctionnelle--Algèbres--Banache Résumé : es notions présentées dans cet exposé, première partie d’un ensemble traitant de l’analyse fonctionnelle, concernent plus particulièrement :
* les espaces normés de dimension finie ; ce sont ceux pour lesquels un calcul effectif, utilisant les coordonnées (en nombre fini !) des vecteurs est possible. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, ils sont caractérisés par le fait qu’ils contiennent des ensembles compacts d’intérieur non vide : dimension finie et compacité sont donc intimement liées ;
* les espaces de Hilbert ; en particulier, l’espace de Hilbert séparable est le paradis des analystes. Il constitue un cadre naturel où se conjuguent des idées géométriques (orthogonalité, théorème de Pythagore…), algébriques (valeurs propres, théorie spectrale…) et analytiques (séries et transformation de Fourier) ;
* les espaces de Banach non euclidiens ; par exemple, l’espace des fonctions continues ou celui des fonctions intégrables sur un segment ne sont pas des espaces de Hilbert. Il nous faut pourtant les considérer si nous voulons montrer l’existence de solutions d’équations différentielles, ou développer le calcul des probabilités.
C’est donc dans la seconde partie ([AF 101]) que nous aborderons :
* les espaces fonctionnels non normables ;
* la transformation de Fourier ;
* le calcul des probabilités.
Les connaissances exigées pour aborder cette présentation de l’analyse fonctionnelle nécessitent d’être à l’aise avec les bases de la topologie. Ces bases sont présentées dans l’article [AF 99] « Topologie et mesure » de ce traité .REFERENCE : AF100 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse fonctionnelle : partie 1 [texte imprimé] / Godefroy, Gilles, Auteur . - 2007 . - 1-14 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Mots-clés : Analyse--Fonctionnelle--Algèbres--Banache Résumé : es notions présentées dans cet exposé, première partie d’un ensemble traitant de l’analyse fonctionnelle, concernent plus particulièrement :
* les espaces normés de dimension finie ; ce sont ceux pour lesquels un calcul effectif, utilisant les coordonnées (en nombre fini !) des vecteurs est possible. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, ils sont caractérisés par le fait qu’ils contiennent des ensembles compacts d’intérieur non vide : dimension finie et compacité sont donc intimement liées ;
* les espaces de Hilbert ; en particulier, l’espace de Hilbert séparable est le paradis des analystes. Il constitue un cadre naturel où se conjuguent des idées géométriques (orthogonalité, théorème de Pythagore…), algébriques (valeurs propres, théorie spectrale…) et analytiques (séries et transformation de Fourier) ;
* les espaces de Banach non euclidiens ; par exemple, l’espace des fonctions continues ou celui des fonctions intégrables sur un segment ne sont pas des espaces de Hilbert. Il nous faut pourtant les considérer si nous voulons montrer l’existence de solutions d’équations différentielles, ou développer le calcul des probabilités.
C’est donc dans la seconde partie ([AF 101]) que nous aborderons :
* les espaces fonctionnels non normables ;
* la transformation de Fourier ;
* le calcul des probabilités.
Les connaissances exigées pour aborder cette présentation de l’analyse fonctionnelle nécessitent d’être à l’aise avec les bases de la topologie. Ces bases sont présentées dans l’article [AF 99] « Topologie et mesure » de ce traité .REFERENCE : AF100 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Analyse fonctionnelle : partie 2 Type de document : texte imprimé Auteurs : Godefroy, Gilles, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Fonctionnelle--Calcul--Probabilités Résumé : Les opérateurs de dérivation ne se représentent pas de façon naturelle comme opérateurs continus sur des espaces normés. Le bon cadre pour le calcul différentiel est fourni par la théorie des distributions , qui impose l'utilisation d'espaces non normables mais permet de donner un sens à la « dérivée » de fonctions très générales.
La transformation de Fourier déploie toute sa puissance dans ce cadre élargi et permet de résoudre effectivement de nombreuses équations aux dérivées partielles, en donnant l'existence et la forme générale des solutions.
C'est encore l'analyse de Fourier qui procure le bon outil pour établir les théorèmes limites du calcul des probabilités , et faire apparaître le rôle central des variables gaussiennes aux interfaces entre le calcul sur les sphères de grande dimension, la distribution des grandeurs physiques ou biologiques et l'incertitude des mesures.
Nota : Pour aborder sans difficultés cette deuxième partie de l'analyse fonctionnelle, le lecteur consultera, dans ce traité :
* — [AF 99] - Topologie et mesure ;
* — [AF 100] - Analyse fonctionnelle. Partie 1.REFERENCE : AF101 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse fonctionnelle : partie 2 [texte imprimé] / Godefroy, Gilles, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Analyse--Fonctionnelle--Calcul--Probabilités Résumé : Les opérateurs de dérivation ne se représentent pas de façon naturelle comme opérateurs continus sur des espaces normés. Le bon cadre pour le calcul différentiel est fourni par la théorie des distributions , qui impose l'utilisation d'espaces non normables mais permet de donner un sens à la « dérivée » de fonctions très générales.
La transformation de Fourier déploie toute sa puissance dans ce cadre élargi et permet de résoudre effectivement de nombreuses équations aux dérivées partielles, en donnant l'existence et la forme générale des solutions.
C'est encore l'analyse de Fourier qui procure le bon outil pour établir les théorèmes limites du calcul des probabilités , et faire apparaître le rôle central des variables gaussiennes aux interfaces entre le calcul sur les sphères de grande dimension, la distribution des grandeurs physiques ou biologiques et l'incertitude des mesures.
Nota : Pour aborder sans difficultés cette deuxième partie de l'analyse fonctionnelle, le lecteur consultera, dans ce traité :
* — [AF 99] - Topologie et mesure ;
* — [AF 100] - Analyse fonctionnelle. Partie 1.REFERENCE : AF101 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Titre : Equations différentielles linéaires Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-18 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Différentielles--Linéaires Résumé : Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.REFERENCE : AF103 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations différentielles linéaires [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-18 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Mots-clés : Equations--Différentielles--Linéaires Résumé : Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.
Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.
Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIXe siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.REFERENCE : AF103 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-28 p.
Titre : Intégration Type de document : texte imprimé Auteurs : Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-28 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Intégration--Intégrale--Lebesgue--Analytiques Résumé : L’intégrale a été naturellement introduite en mathématiques pour calculer des longueurs, des aires ou des volumes, en d’autres termes pour mesurer.
Par exemple, pour calculer la distance parcourue par un mobile sur sa trajectoire, on intégrera sa vitesse (algébrique). D’emblée, l’intégrale d’une fonction peut s’interpréter comme l’accroissement de l’une de ses primitives. Pendant deux siècles, si les techniques de calcul des intégrales se sont améliorées, les objets intégrés sont restés de même nature : applications analytiques essentiellement, puis, au début du XIX e siècle, continues (Cauchy). Simultanément, ce même Cauchy tente de donner un sens à l’intégrale d’une fonction non bornée, ou bien définie sur un intervalle qui n’est pas un segment : cette notion correspond à celle d’intégrale impropre. De cette époque (Fourier) date la notation
Avec le développement de l’analyse harmonique, d’une part, et la nécessité de donner un statut précis aux opérations de l’analyse, d’autre part, des tentatives nombreuses visent alors à définir l’intégrale de fonctions appartenant à une classe assez large et à en déterminer les propriétés : citons Dirichlet, qui cherche à généraliser la notion d’intégrale impropre, et surtout Riemann, qui définit sur une certaine classe de fonctions, les fonctions intégrables au sens de Riemann, une intégrale restée très classique. Le point de départ est le même que chez Cauchy, si ce n’est que la fonction à intégrer n’est pas a priori supposée continue, ni même assez régulière. De fait, ce qui détermine le caractère intégrable de la fonction, c’est la seule convergence du procédé d’intégration. En réalité échappent à l’intégration de Riemann les fonctions trop irrégulières, trop grandes ou bien définies sur des ensembles trop compliqués ou non bornés.REFERENCE : AF110 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1996 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Intégration [texte imprimé] / Lino, Danièle, Auteur ; Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-28 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-28 p.
Mots-clés : Intégration--Intégrale--Lebesgue--Analytiques Résumé : L’intégrale a été naturellement introduite en mathématiques pour calculer des longueurs, des aires ou des volumes, en d’autres termes pour mesurer.
Par exemple, pour calculer la distance parcourue par un mobile sur sa trajectoire, on intégrera sa vitesse (algébrique). D’emblée, l’intégrale d’une fonction peut s’interpréter comme l’accroissement de l’une de ses primitives. Pendant deux siècles, si les techniques de calcul des intégrales se sont améliorées, les objets intégrés sont restés de même nature : applications analytiques essentiellement, puis, au début du XIX e siècle, continues (Cauchy). Simultanément, ce même Cauchy tente de donner un sens à l’intégrale d’une fonction non bornée, ou bien définie sur un intervalle qui n’est pas un segment : cette notion correspond à celle d’intégrale impropre. De cette époque (Fourier) date la notation
Avec le développement de l’analyse harmonique, d’une part, et la nécessité de donner un statut précis aux opérations de l’analyse, d’autre part, des tentatives nombreuses visent alors à définir l’intégrale de fonctions appartenant à une classe assez large et à en déterminer les propriétés : citons Dirichlet, qui cherche à généraliser la notion d’intégrale impropre, et surtout Riemann, qui définit sur une certaine classe de fonctions, les fonctions intégrables au sens de Riemann, une intégrale restée très classique. Le point de départ est le même que chez Cauchy, si ce n’est que la fonction à intégrer n’est pas a priori supposée continue, ni même assez régulière. De fait, ce qui détermine le caractère intégrable de la fonction, c’est la seule convergence du procédé d’intégration. En réalité échappent à l’intégration de Riemann les fonctions trop irrégulières, trop grandes ou bien définies sur des ensembles trop compliqués ou non bornés.REFERENCE : AF110 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1996 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Titre : Analyse complexe : théorie des applications holomorphes Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-18 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Complexe--Théories applications--Holomorphes Résumé : Les nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI e siècle). Jusqu'à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d'ordre algébrique.
De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe.
D'autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l'exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l'étude précise des fonctions de la variable complexe . Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu'il s'agit de leur dérivabilité .
Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d'une structure de corps ordonné, ce qui permet justement à – 1 d'y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D'un autre côté, une application continue n'admet en général pas de primitive dans af112eq1 : l'intégration s'y fait là le long de chemins, et il y en a de nombreux qui mènent d'un point à un autre. Dans af112eq2, seul un segment convient. Ces divergences profondes à l'égard de la primitivation ont des conséquences sur la notion même de dérivabilité. C'est à Cauchy qu'il revient, à travers la formule de Cauchy, de montrer qu'une application dérivable de la variable complexe est en fait indéfiniment dérivable, et même analytique.
Une des conséquences de ce constat fondamental est la grande rigidité de la notion même d'application dérivable de la variable complexe (appelée aussi application holomorphe ). Une autre, plus heureuse, est de permettre de nombreux calculs d'intégrales au moyen de la formule des résidus, un des avatars de la formule de Cauchy.
L'analyse complexe d'une variable trouve de nouveaux développements dans l'étude des applications harmoniques de deux variables réelles et, un peu plus tard, dans ses applications à l'arithmétique. L'étude de la fonction zêta et, notamment, la localisation des points où elle s'annule, conduit au théorème des nombres premiers, qui en précise la répartition. La conjecture de Riemann, toujours d'actualité, est de la même veine. D'autre part, en restant dans le domaine plus terre à terre des applications à la physique, de nombreuses fonctions spéciales, définies dans une partie du champ complexe, sont utilisées pour résoudre des équations différentielles ou des équations fonctionnelles. À l'heure actuelle, les fonctions de la variable complexe sont un outil fondamental dans la résolution des problèmes du calcul infinitésimal.
La première partie de l'article « Analyse complexe » est essentiellement consacrée à l'élucidation des propriétés, plutôt surprenantes de prime abord, que la dérivabilité d'une application lui impose.
On trouvera, dans la seconde partie [AF 113], un certain nombre d'appli-cations, ainsi qu'un regard sur des techniques un peu plus puissantes.REFERENCE : AF112 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse complexe : théorie des applications holomorphes [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-18 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-18 p.
Mots-clés : Analyse--Complexe--Théories applications--Holomorphes Résumé : Les nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI e siècle). Jusqu'à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d'ordre algébrique.
De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe.
D'autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l'exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l'étude précise des fonctions de la variable complexe . Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu'il s'agit de leur dérivabilité .
Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d'une structure de corps ordonné, ce qui permet justement à – 1 d'y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D'un autre côté, une application continue n'admet en général pas de primitive dans af112eq1 : l'intégration s'y fait là le long de chemins, et il y en a de nombreux qui mènent d'un point à un autre. Dans af112eq2, seul un segment convient. Ces divergences profondes à l'égard de la primitivation ont des conséquences sur la notion même de dérivabilité. C'est à Cauchy qu'il revient, à travers la formule de Cauchy, de montrer qu'une application dérivable de la variable complexe est en fait indéfiniment dérivable, et même analytique.
Une des conséquences de ce constat fondamental est la grande rigidité de la notion même d'application dérivable de la variable complexe (appelée aussi application holomorphe ). Une autre, plus heureuse, est de permettre de nombreux calculs d'intégrales au moyen de la formule des résidus, un des avatars de la formule de Cauchy.
L'analyse complexe d'une variable trouve de nouveaux développements dans l'étude des applications harmoniques de deux variables réelles et, un peu plus tard, dans ses applications à l'arithmétique. L'étude de la fonction zêta et, notamment, la localisation des points où elle s'annule, conduit au théorème des nombres premiers, qui en précise la répartition. La conjecture de Riemann, toujours d'actualité, est de la même veine. D'autre part, en restant dans le domaine plus terre à terre des applications à la physique, de nombreuses fonctions spéciales, définies dans une partie du champ complexe, sont utilisées pour résoudre des équations différentielles ou des équations fonctionnelles. À l'heure actuelle, les fonctions de la variable complexe sont un outil fondamental dans la résolution des problèmes du calcul infinitésimal.
La première partie de l'article « Analyse complexe » est essentiellement consacrée à l'élucidation des propriétés, plutôt surprenantes de prime abord, que la dérivabilité d'une application lui impose.
On trouvera, dans la seconde partie [AF 113], un certain nombre d'appli-cations, ainsi qu'un regard sur des techniques un peu plus puissantes.REFERENCE : AF112 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Titre : Analyse complexe : applications holomorphes Type de document : texte imprimé Auteurs : Randé, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-22 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Complexe--Applicalions--Holomorphes Résumé : Les applications holomorphes permettent d’élucider certains phénomènes qui semblent ne mettre en cause, au premier abord, que des nombres réels, alors que ces applications sont définies sur un ouvert du plan complexe.
Un exemple frappant de cette situation est fourni par le calcul d’intégrales de fonctions de la variable réelle, rendu simple et surtout systématique, par l’utilisation de la formule des résidus.
Cette formule exprime, en termes calculatoires, la géométrie du plan complexe, qui diffère de celle de la droite réelle en ceci que, dans le premier cadre, il est possible d’entourer un point par un lacet (c’est-à-dire une courbe qui se referme sur elle-même). La notion d’intégrale le long d’un lacet permet alors de calculer une intégrale « autour » d’un pôle d’une application holomorphe f. Ce faisant, on fait apparaître deux termes :
le premier, de nature géométrique, est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle : c’est la notion d’indice ;
le second exprime le comportement de f au voisinage du pôle, qui fait intervenir un nombre, le résidu de f en ce pôle.
À l’aide de telles intégrales, on obtient une formule assez générale, dite formule des résidus. Convenablement appliquée à des lacets particuliers, elle permet d’obtenir la valeur de nombreuses intégrales d’applications définies sur , souvent restrictions de certaines applications holomorphes sur .
On peut aussi en déduire d’autres égalités, en appliquant la formule des résidus à des applications dépendant d’un paramètre complexe. Ces égalités donnent lieu à des identités entre fonctions complexes (du paramètre). Les développements eulériens sont de cette nature.
L’utilisation d’intégrales le long de certains chemins conduit aussi à la résolution d’équations différentielles. Ce sujet, en soi très vaste, n’est pas abordé dans l’article, pas plus que la recherche du comportement asymptotique d’intégrales dépendant d’un paramètre.Note de contenu : Errata. REFERENCE : AF113 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse complexe : applications holomorphes [texte imprimé] / Randé, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-22 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Mots-clés : Analyse--Complexe--Applicalions--Holomorphes Résumé : Les applications holomorphes permettent d’élucider certains phénomènes qui semblent ne mettre en cause, au premier abord, que des nombres réels, alors que ces applications sont définies sur un ouvert du plan complexe.
Un exemple frappant de cette situation est fourni par le calcul d’intégrales de fonctions de la variable réelle, rendu simple et surtout systématique, par l’utilisation de la formule des résidus.
Cette formule exprime, en termes calculatoires, la géométrie du plan complexe, qui diffère de celle de la droite réelle en ceci que, dans le premier cadre, il est possible d’entourer un point par un lacet (c’est-à-dire une courbe qui se referme sur elle-même). La notion d’intégrale le long d’un lacet permet alors de calculer une intégrale « autour » d’un pôle d’une application holomorphe f. Ce faisant, on fait apparaître deux termes :
le premier, de nature géométrique, est le nombre de tours que fait le lacet autour du pôle : c’est la notion d’indice ;
le second exprime le comportement de f au voisinage du pôle, qui fait intervenir un nombre, le résidu de f en ce pôle.
À l’aide de telles intégrales, on obtient une formule assez générale, dite formule des résidus. Convenablement appliquée à des lacets particuliers, elle permet d’obtenir la valeur de nombreuses intégrales d’applications définies sur , souvent restrictions de certaines applications holomorphes sur .
On peut aussi en déduire d’autres égalités, en appliquant la formule des résidus à des applications dépendant d’un paramètre complexe. Ces égalités donnent lieu à des identités entre fonctions complexes (du paramètre). Les développements eulériens sont de cette nature.
L’utilisation d’intégrales le long de certains chemins conduit aussi à la résolution d’équations différentielles. Ce sujet, en soi très vaste, n’est pas abordé dans l’article, pas plus que la recherche du comportement asymptotique d’intégrales dépendant d’un paramètre.Note de contenu : Errata. REFERENCE : AF113 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 9 p.
Titre : Introduction à la Logique Floue Type de document : texte imprimé Auteurs : Kaufmann, Arnorl, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 9 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Logique floue Algèbre de boole Relations floues Inférences floues Nombres floues REFERENCE : A120-R7032 DEWEY : 500 Date : Octobre 1992 RAMEAU : Logique floue En ligne : http://techniques-ingenieur.fr [article] Introduction à la Logique Floue [texte imprimé] / Kaufmann, Arnorl, Auteur . - 2007 . - 9 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 9 p.
Mots-clés : Logique floue Algèbre de boole Relations floues Inférences floues Nombres floues REFERENCE : A120-R7032 DEWEY : 500 Date : Octobre 1992 RAMEAU : Logique floue En ligne : http://techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 14 p.
Titre : Calcul Tensoriel Type de document : texte imprimé Auteurs : Châtelet, Gilles, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 14 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul tensoriel Tenseurs Dimension finie REFERENCE : A125 DEWEY : 500 ISSN : 1764-0547 Date : Novembre 1982 RAMEAU : Calcul tensoriel En ligne : http://techniques-ingenieur.fr [article] Calcul Tensoriel [texte imprimé] / Châtelet, Gilles, Auteur . - 2007 . - 14 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 14 p.
Mots-clés : Calcul tensoriel Tenseurs Dimension finie REFERENCE : A125 DEWEY : 500 ISSN : 1764-0547 Date : Novembre 1982 RAMEAU : Calcul tensoriel En ligne : http://techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 5 p.
Titre : Quaternions: Application aux Rotations dans l'Espace Type de document : texte imprimé Auteurs : Radix, Jean-Claude, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 5 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Quaternions Application Rotations Espace REFERENCE : A140 (Archive) DEWEY : 500 Date : Mai 1981 RAMEAU : Quaternions En ligne : http://techniques-ingenieur.fr [article] Quaternions: Application aux Rotations dans l'Espace [texte imprimé] / Radix, Jean-Claude, Auteur . - 2007 . - 5 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 5 p.
Mots-clés : Quaternions Application Rotations Espace REFERENCE : A140 (Archive) DEWEY : 500 Date : Mai 1981 RAMEAU : Quaternions En ligne : http://techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 20 p.
Titre : Séries de Fourier Type de document : texte imprimé Auteurs : Queffélec, Hervé, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 20 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Séries de Fourier Développement REFERENCE : AF141 DEWEY : 500 Date : Janvier 1999 RAMEAU : Fourier, Séries En ligne : http://techniques-ingenieur.fr [article] Séries de Fourier [texte imprimé] / Queffélec, Hervé, Auteur . - 2007 . - 20 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 20 p.
Mots-clés : Séries de Fourier Développement REFERENCE : AF141 DEWEY : 500 Date : Janvier 1999 RAMEAU : Fourier, Séries En ligne : http://techniques-ingenieur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-35 p.
Titre : Analyse harmonique, Distribution, Convolution Type de document : texte imprimé Auteurs : Lachand-Robert, Thomas, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-35 p. Note générale : Mathématiques pour l'Ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Harmonique--Distributions--Convolution--Transformation--Fourier Résumé : L’analyse harmonique est, à l’origine, la branche des mathématiques qui traite des signaux périodiques, ou quasi périodiques (avec une définition que nous préciserons dans le cours de cet article). Introduite par Fourier pour l’étude de l’équation de la chaleur, où il remporta un grand succès, elle est très vite devenue un outil essentiel non seulement du mathématicien (pour la résolution de certaines équations, comme les équations des ondes ou les équations de convolution), mais aussi du physicien (pour les phénomènes d’ondes ou de propagation, l’optique, etc.), de l’astronome (mécanique céleste, spectroscopie), de l’électricien (équations des circuits électriques) ; elle trouve des applications même en musique (car les sons sont précisément des signaux sonores périodiques), d’où elle tire d’ailleurs son attribut d’harmonique. Ces applications n’ont rien perdu de leur importance, mais elles se sont augmentées de bien d’autres depuis qu’on a généralisé le concept de décomposition en série de Fourier, applicable aux seules fonctions périodiques, en une transformation de Fourier, utilisable sur un bien plus grand nombre de fonctions.
Les idées de base de l’analyse harmonique sont très simples, et peuvent essentiellement se résumer dans cette profession de foi : tout ramener à des fonctions de base dont les propriétés sont bien connues (fonctions sinus et cosinus, ou exponentielle), en exprimant les « fonctions générales » sous la forme de sommes, ou plus généralement d’intégrales, de telles « fonctions élémentaires ». Mais leur application pratique pose un certain nombre de difficultés tant sur le plan théorique (qu’est-ce au juste qu’une « fonction générale » ?) que sur le plan pratique (comment réaliser une telle décomposition, ou au contraire comment recomposer la fonction à partir de son expression dans ces fonctions élémentaires ; quelles sont les propriétés de l’image décomposée d’une fonction, etc.). Ces problèmes ont été énormément débattus par les mathématiciens depuis le siècle dernier, mais ce n’est qu’assez récemment qu’une solution pleinement satisfaisante a été trouvée, en fournissant un cadre élémentaire et général à la transformation de Fourier (et à bien d’autres questions mathématiques par ailleurs) : la théorie des distributions, conçue par L. Schwartz dans les années 50. Nous en exposerons donc en premier les principaux éléments, un peu comme on place le décor avant de commencer la pièce de théâtre. Nous évoquerons au passage le concept important de convolution de deux fonctions ou de deux distributions, qui joue un rôle essentiel par exemple en électronique ou en optique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A142 ISSN : 1776-0860 Date : Novembre 1993 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse harmonique, Distribution, Convolution [texte imprimé] / Lachand-Robert, Thomas, Auteur . - 2007 . - 1-35 p.
Mathématiques pour l'Ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-35 p.
Mots-clés : Analyse--Harmonique--Distributions--Convolution--Transformation--Fourier Résumé : L’analyse harmonique est, à l’origine, la branche des mathématiques qui traite des signaux périodiques, ou quasi périodiques (avec une définition que nous préciserons dans le cours de cet article). Introduite par Fourier pour l’étude de l’équation de la chaleur, où il remporta un grand succès, elle est très vite devenue un outil essentiel non seulement du mathématicien (pour la résolution de certaines équations, comme les équations des ondes ou les équations de convolution), mais aussi du physicien (pour les phénomènes d’ondes ou de propagation, l’optique, etc.), de l’astronome (mécanique céleste, spectroscopie), de l’électricien (équations des circuits électriques) ; elle trouve des applications même en musique (car les sons sont précisément des signaux sonores périodiques), d’où elle tire d’ailleurs son attribut d’harmonique. Ces applications n’ont rien perdu de leur importance, mais elles se sont augmentées de bien d’autres depuis qu’on a généralisé le concept de décomposition en série de Fourier, applicable aux seules fonctions périodiques, en une transformation de Fourier, utilisable sur un bien plus grand nombre de fonctions.
Les idées de base de l’analyse harmonique sont très simples, et peuvent essentiellement se résumer dans cette profession de foi : tout ramener à des fonctions de base dont les propriétés sont bien connues (fonctions sinus et cosinus, ou exponentielle), en exprimant les « fonctions générales » sous la forme de sommes, ou plus généralement d’intégrales, de telles « fonctions élémentaires ». Mais leur application pratique pose un certain nombre de difficultés tant sur le plan théorique (qu’est-ce au juste qu’une « fonction générale » ?) que sur le plan pratique (comment réaliser une telle décomposition, ou au contraire comment recomposer la fonction à partir de son expression dans ces fonctions élémentaires ; quelles sont les propriétés de l’image décomposée d’une fonction, etc.). Ces problèmes ont été énormément débattus par les mathématiciens depuis le siècle dernier, mais ce n’est qu’assez récemment qu’une solution pleinement satisfaisante a été trouvée, en fournissant un cadre élémentaire et général à la transformation de Fourier (et à bien d’autres questions mathématiques par ailleurs) : la théorie des distributions, conçue par L. Schwartz dans les années 50. Nous en exposerons donc en premier les principaux éléments, un peu comme on place le décor avant de commencer la pièce de théâtre. Nous évoquerons au passage le concept important de convolution de deux fonctions ou de deux distributions, qui joue un rôle essentiel par exemple en électronique ou en optique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A142 ISSN : 1776-0860 Date : Novembre 1993 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Titre : Equations aux différences Type de document : texte imprimé Auteurs : Chen, Guoting, Auteur ; Della Dora, Jean, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-12 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Différences--Linéaires Résumé : Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires »Note de contenu : Bibliogr. AF 104 REFERENCE : AF 104 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2007 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations aux différences [texte imprimé] / Chen, Guoting, Auteur ; Della Dora, Jean, Auteur . - 2007 . - 1-12 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Mots-clés : Equations--Différences--Linéaires Résumé : Les équations aux différences sont à la base de l'analyse appliquée depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement, elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numérique et omniprésentes en combinatoire.
Mais peut-on parler de théorie des équations aux différences ?
La réponse est certainement non. Les équations aux différences non linéaires restent un sujet difficile et d'actualité pour les mathématiciens (au même titre que les équations différentielles ordinaires, voir à ce sujet les articles « Équations différentielles linéaires »Note de contenu : Bibliogr. AF 104 REFERENCE : AF 104 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2007 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Titre : Calcul des variations Type de document : texte imprimé Auteurs : Dacorogna, Bernard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-14 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Variations--Calcul--Mathématiques--Equations Résumé : Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. Il a attiré un grand nombre de mathématiciens célèbres. Avant de présenter le cas modèle le plus important, nous allons commencer par une discussion informelle. En mathématiques, en physique, dans les sciences de l'ingénieur ou même en économie ou en écologie, les modèles sont souvent exprimés en termes d'un principe de minimalité ou de maximalité. C'est précisément la question centrale du calcul des variations. Par exemple, en mathématiques, on peut être intéressé à trouver, sous certaines contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En physique, un exemple typique est le principe de moindre action ; d'autres exemples seront donnés dans cet exposé de manière plus détaillée. Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathématiquement à des équations différentielles, sont souvent dérivées à partir d'un principe variationnel. Les solutions du problème variationnel sont alors des solutions d'équations différentielles associées. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 111 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2007 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Calcul des variations [texte imprimé] / Dacorogna, Bernard, Auteur . - 2007 . - 1-14 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Mots-clés : Variations--Calcul--Mathématiques--Equations Résumé : Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. Il a attiré un grand nombre de mathématiciens célèbres. Avant de présenter le cas modèle le plus important, nous allons commencer par une discussion informelle. En mathématiques, en physique, dans les sciences de l'ingénieur ou même en économie ou en écologie, les modèles sont souvent exprimés en termes d'un principe de minimalité ou de maximalité. C'est précisément la question centrale du calcul des variations. Par exemple, en mathématiques, on peut être intéressé à trouver, sous certaines contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En physique, un exemple typique est le principe de moindre action ; d'autres exemples seront donnés dans cet exposé de manière plus détaillée. Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathématiquement à des équations différentielles, sont souvent dérivées à partir d'un principe variationnel. Les solutions du problème variationnel sont alors des solutions d'équations différentielles associées. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 111 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2007 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Titre : Algèbre de boole Type de document : texte imprimé Auteurs : Vuillemin, Jean, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-12 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Algèbre--Boole--Systèmes numériques--Mathématiques Résumé : Le livre An Investigation of the Laws of Thought de George Boole donne les règles de ce qu'on appelle l'algèbre de Boole. Depuis 1854, le sujet a trouvé d'importantes applications, en mathématiques d'abord, puis en physique, en informatique et dans les télécommunications. L'algèbre de Boole fait maintenant partie des fondements théoriques de toutes ces disciplines. L'évaluation massive de formules booléennes, des milliards de fois chaque nanoseconde, par des puces électroniques, est l'une des clés de notre brave nouveau siècle numérique. La vérification automatique de formules booléennes massives (des millions de portes) est une autre clé dans la conception fiable de divers systèmes numériques critiques. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : Octobre 2010 ISSN : 1776-0860 Date : AF 118 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Algèbre de boole [texte imprimé] / Vuillemin, Jean, Auteur . - 2007 . - 1-12 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-12 p.
Mots-clés : Algèbre--Boole--Systèmes numériques--Mathématiques Résumé : Le livre An Investigation of the Laws of Thought de George Boole donne les règles de ce qu'on appelle l'algèbre de Boole. Depuis 1854, le sujet a trouvé d'importantes applications, en mathématiques d'abord, puis en physique, en informatique et dans les télécommunications. L'algèbre de Boole fait maintenant partie des fondements théoriques de toutes ces disciplines. L'évaluation massive de formules booléennes, des milliards de fois chaque nanoseconde, par des puces électroniques, est l'une des clés de notre brave nouveau siècle numérique. La vérification automatique de formules booléennes massives (des millions de portes) est une autre clé dans la conception fiable de divers systèmes numériques critiques. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : Octobre 2010 ISSN : 1776-0860 Date : AF 118 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Titre : Systèmes hamiltoniens : un aperçu variationnel Type de document : texte imprimé Auteurs : Denis Bonheure, Auteur ; Michel WILLEM, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-20 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Systèmes--Hamiltoniens--Aperçu variationnel Résumé : Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques. Note de contenu : Bibliogr. AF 106 REFERENCE : AF 106 ISSN : 1776-0860 Date : Oct. 2008 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Systèmes hamiltoniens : un aperçu variationnel [texte imprimé] / Denis Bonheure, Auteur ; Michel WILLEM, Auteur . - 2007 . - 1-20 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM1 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Mots-clés : Systèmes--Hamiltoniens--Aperçu variationnel Résumé : Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques. Note de contenu : Bibliogr. AF 106 REFERENCE : AF 106 ISSN : 1776-0860 Date : Oct. 2008 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
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