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Ajouter le résultat dans votre panierIntégrales de Fourier / Queffélec, Hervé in Techniques de l'ingénieur AFM, Vol. AFM2 (Trimestriel)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p.
Titre : Intégrales de Fourier Type de document : texte imprimé Auteurs : Queffélec, Hervé, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-24 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Intégrales fourier--Fonctions intégrables--Formule d'inversion Résumé : La transformation de Fourier sur la droite réelle est l’analogue de la transformation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles :
sont remplacées par la famille continue des exponentielles :
et où l’intégration sur un intervalle période est remplacée par l’intégration sur tout entier.
D’ailleurs, un physicien dirait qu’une fonction définie sur est une fonction périodique de période infinie (!), et on peut donner une présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupe abéliens localement compacts. Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des séries de Fourier, le groupe de base est le groupe compact des réels modulo 2π, alors que, dans le cas des intégrales de Fourier, ce groupe de base est le groupe non compact des réels. Il s’agit là, comme on le verra, d’une différence majeure ; même si, dans les deux cas, la convolution est transformée en la multiplication ordinaire, ce qui est un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles, les phénomènes sont souvent fort différents ; par exemple, il n’y a plus toujours unicité pour l’équation de chaleur avec donnée initiale, ou bien les bases orthonormales qui entrent en jeu n’ont rien de semblable : base des exponentielles en dans le cas des séries de Fourier, base des fonctions d’Hermite dans le cas des intégrales de Fourier, etc.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF143 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Intégrales de Fourier [texte imprimé] / Queffélec, Hervé, Auteur . - 2007 . - 1-24 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p.
Mots-clés : Intégrales fourier--Fonctions intégrables--Formule d'inversion Résumé : La transformation de Fourier sur la droite réelle est l’analogue de la transformation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles :
sont remplacées par la famille continue des exponentielles :
et où l’intégration sur un intervalle période est remplacée par l’intégration sur tout entier.
D’ailleurs, un physicien dirait qu’une fonction définie sur est une fonction périodique de période infinie (!), et on peut donner une présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupe abéliens localement compacts. Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des séries de Fourier, le groupe de base est le groupe compact des réels modulo 2π, alors que, dans le cas des intégrales de Fourier, ce groupe de base est le groupe non compact des réels. Il s’agit là, comme on le verra, d’une différence majeure ; même si, dans les deux cas, la convolution est transformée en la multiplication ordinaire, ce qui est un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles, les phénomènes sont souvent fort différents ; par exemple, il n’y a plus toujours unicité pour l’équation de chaleur avec donnée initiale, ou bien les bases orthonormales qui entrent en jeu n’ont rien de semblable : base des exponentielles en dans le cas des séries de Fourier, base des fonctions d’Hermite dans le cas des intégrales de Fourier, etc.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF143 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-15 p.
Titre : Distributions : opérations et dérivées Type de document : texte imprimé Auteurs : Doisy, Michel, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-15 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Distributions Opérations--Dérrivé--Physiques--Chimiques--Biologiques Résumé : De très nombreux phénomènes physiques, chimiques, biologiques et même économiques peuvent être modélisés par des équations différentielles ou par des équations aux dérivées partielles. La solution d’une équation différentielle est une fonction n fois continûment différentiable. Cependant, il est apparu au début du XXe siècle que ces contraintes de différentiabilité étaient trop restrictives et que – pour certains phénomènes – il pouvait être intéressant d’y introduire, comme solution, des fonctions discontinues. Dans les années 1930, Jean Leray introduisait la notion de solution faible pour les équations de l’hydrodynamique (solutions turbulentes des équations de Navier-Stokes). Peu après, Leonid Sobolev utilisait celle-ci pour les besoins de la théorie du potentiel. S’appuyant sur ces travaux et cherchant à leur donner un cadre cohérent, Laurent Schwartz a élaboré (1945-1950) une théorie générale et rigoureuse qui est la « théorie des distributions ».
Parallèlement, depuis la fin du XIXe siècle, le calcul symbolique d’Heaviside avait un réel succès parmi les ingénieurs car, bien que défiant souvent les règles mathématiques en usage, il avait le mérite de mener à des résultats exacts.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF144 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Distributions : opérations et dérivées [texte imprimé] / Doisy, Michel, Auteur . - 2007 . - 1-15 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-15 p.
Mots-clés : Distributions Opérations--Dérrivé--Physiques--Chimiques--Biologiques Résumé : De très nombreux phénomènes physiques, chimiques, biologiques et même économiques peuvent être modélisés par des équations différentielles ou par des équations aux dérivées partielles. La solution d’une équation différentielle est une fonction n fois continûment différentiable. Cependant, il est apparu au début du XXe siècle que ces contraintes de différentiabilité étaient trop restrictives et que – pour certains phénomènes – il pouvait être intéressant d’y introduire, comme solution, des fonctions discontinues. Dans les années 1930, Jean Leray introduisait la notion de solution faible pour les équations de l’hydrodynamique (solutions turbulentes des équations de Navier-Stokes). Peu après, Leonid Sobolev utilisait celle-ci pour les besoins de la théorie du potentiel. S’appuyant sur ces travaux et cherchant à leur donner un cadre cohérent, Laurent Schwartz a élaboré (1945-1950) une théorie générale et rigoureuse qui est la « théorie des distributions ».
Parallèlement, depuis la fin du XIXe siècle, le calcul symbolique d’Heaviside avait un réel succès parmi les ingénieurs car, bien que défiant souvent les règles mathématiques en usage, il avait le mérite de mener à des résultats exacts.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF144 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Titre : Distributions : convolution et transformée de fourier Type de document : texte imprimé Auteurs : Doisy, Michel, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-13 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Distribution--Convolution--Transformée Fourier Résumé : Dans un premier article , nous avons présenté les principales opérations sur les distributions et abordé la notion fondamentale de dérivée d’une distribution.
Ce deuxième article traite plus particulièrement du produit de convolution des distributions et de leur transformée de Fourier.
Utilisés conjointement, le produit de convolution et la transformée de Fourier sont deux outils très efficaces pour résoudre certaines équations différentielles.
Dans la définition du produit de convolution de deux distributions, la notion de support d’une distribution joue un rôle fondamental. Nous étudions en détail cette notion délicate dans le premier paragraphe. Nous montrons ensuite comment le produit de convolution permet la recherche de solutions des équations différentielles en utilisant — en grande partie — un calcul algébrique dans une algèbre de convolution convenable. Nous définissons enfin la notion de transformée de Fourier des distributions tempérées et nous étudions les propriétés conjointes du produit de convolution et transformée de Fourier des distributions, propriétés très voisines de celles qui existent pour les fonctions.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 145 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Distributions : convolution et transformée de fourier [texte imprimé] / Doisy, Michel, Auteur . - 2007 . - 1-13 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-13 p.
Mots-clés : Distribution--Convolution--Transformée Fourier Résumé : Dans un premier article , nous avons présenté les principales opérations sur les distributions et abordé la notion fondamentale de dérivée d’une distribution.
Ce deuxième article traite plus particulièrement du produit de convolution des distributions et de leur transformée de Fourier.
Utilisés conjointement, le produit de convolution et la transformée de Fourier sont deux outils très efficaces pour résoudre certaines équations différentielles.
Dans la définition du produit de convolution de deux distributions, la notion de support d’une distribution joue un rôle fondamental. Nous étudions en détail cette notion délicate dans le premier paragraphe. Nous montrons ensuite comment le produit de convolution permet la recherche de solutions des équations différentielles en utilisant — en grande partie — un calcul algébrique dans une algèbre de convolution convenable. Nous définissons enfin la notion de transformée de Fourier des distributions tempérées et nous étudions les propriétés conjointes du produit de convolution et transformée de Fourier des distributions, propriétés très voisines de celles qui existent pour les fonctions.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 145 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Titre : Distributions : applications Type de document : texte imprimé Auteurs : Doisy, Michel, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-16 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Distributions--Applications--Formule Espace--Sobolev Résumé : Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet Distributions- Opérations et dérivéesDistributions- Opérations et dérivées et Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.
On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :
permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.
Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.
Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés (Distributions- Opérations et dérivéesDistributions- Opérations et dérivées Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujetNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 146 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2006 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Distributions : applications [texte imprimé] / Doisy, Michel, Auteur . - 2007 . - 1-16 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Mots-clés : Distributions--Applications--Formule Espace--Sobolev Résumé : Ce dossier fait suite aux deux exposés précédents sur le sujet Distributions- Opérations et dérivéesDistributions- Opérations et dérivées et Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier qui visaient à introduire les notions de base de la théorie des distributions. Il présente quelques applications fondamentales de cette théorie dans les domaines de l’Ingénieur.
On a vu, déjà, dans le dossier Convolution et transformée de Fourier Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier comment l’écriture de l’opérateur de dérivation comme un produit de convolution, soit :
permet de ramener la résolution d’une équation différentielle à la recherche d’un inverse de l’opérateur de dérivation (solution de Green) dans une algèbre de convolution convenable. En quelque sorte, on algébrise le problème ! C’est très élégant et astucieux, sans résoudre toutes les difficultés.
Nous développons ici d’autres applications dans trois directions.
Nous espérons avoir donné au travers de ces trois exposés (Distributions- Opérations et dérivéesDistributions- Opérations et dérivées Distributions- Convolution et transformée de FourierDistributions- Convolution et transformée de Fourier ainsi que le présent texte), les connaissances de base sur les distributions et une idée des applications possibles. La théorie des distributions est une belle mécanique, qui s’appuie sur des espaces fonctionnels complexes. Pour maîtriser l’outil, il faut avoir une idée de ses fondements : c’est là la difficulté d’écrire sur le sujetNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 146 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2006 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-30 p.
Titre : Fonctions eulériennes polynômes orthogonaux classiques Type de document : texte imprimé Auteurs : Maroni, Pascal, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-30 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Fonctions eulériennes--Polynômes--Orthogonaux--Classiques--Physique mathématique--Asymptotique--fondamentaux Résumé : Les fonctions eulériennes ont une situation particulière : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions spéciales, c’est‐à‐dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problèmes provenant de la physique mathématique. Il paraît donc nécessaire d’étudier ces fonctions avant toutes les autres.
Historiquement, la fonction gamma est née de l’exigence de donner un sens à x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, achève de donner un statut primordial à la fonction Γ.
L’étude de celle‐ci fait intervenir dès le début les principes fondamentaux de la théorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales propriétés peut être exposée de façon élémentaire, sans cesser d’être rigoureuse.
Longtemps au nombre de trois, les suites de polynômes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynômes d’Hermite, les polynômes de Laguerre (à un paramètre), les polynômes de Bessel (à un paramètre) et les polynômes de Jacobi (à deux paramètres). Les polynômes de Bessel ont tardé à obtenir le statut de polynômes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas définie positive pour aucune valeur du paramètre.
Algébriquement, une suite orthogonale est qualifiée de classique si la suite des dérivées est aussi orthogonale. Avec cette définition, les polynômes de Bessel sont classiques. D’autres définitions sont possibles ; les plus importantes sont exposées ici.
À l’étude basée sur le caractère hypergéométrique des polynômes classiques, on a préféré une exposition purement algébrique qui a le mérite de relier les différentes caractérisations de manière naturelle. Avec ce point de vue, les questions de représentation des formes sont rejetées au second plan.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 154 ISSN : 1776-0860 Date : Novembre 1994 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Fonctions eulériennes polynômes orthogonaux classiques [texte imprimé] / Maroni, Pascal, Auteur . - 2007 . - 1-30 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-30 p.
Mots-clés : Fonctions eulériennes--Polynômes--Orthogonaux--Classiques--Physique mathématique--Asymptotique--fondamentaux Résumé : Les fonctions eulériennes ont une situation particulière : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions spéciales, c’est‐à‐dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problèmes provenant de la physique mathématique. Il paraît donc nécessaire d’étudier ces fonctions avant toutes les autres.
Historiquement, la fonction gamma est née de l’exigence de donner un sens à x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, achève de donner un statut primordial à la fonction Γ.
L’étude de celle‐ci fait intervenir dès le début les principes fondamentaux de la théorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales propriétés peut être exposée de façon élémentaire, sans cesser d’être rigoureuse.
Longtemps au nombre de trois, les suites de polynômes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynômes d’Hermite, les polynômes de Laguerre (à un paramètre), les polynômes de Bessel (à un paramètre) et les polynômes de Jacobi (à deux paramètres). Les polynômes de Bessel ont tardé à obtenir le statut de polynômes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas définie positive pour aucune valeur du paramètre.
Algébriquement, une suite orthogonale est qualifiée de classique si la suite des dérivées est aussi orthogonale. Avec cette définition, les polynômes de Bessel sont classiques. D’autres définitions sont possibles ; les plus importantes sont exposées ici.
À l’étude basée sur le caractère hypergéométrique des polynômes classiques, on a préféré une exposition purement algébrique qui a le mérite de relier les différentes caractérisations de manière naturelle. Avec ce point de vue, les questions de représentation des formes sont rejetées au second plan.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 154 ISSN : 1776-0860 Date : Novembre 1994 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Titre : Fonctions hypergéométriques : fonctions de bessel Type de document : texte imprimé Auteurs : Maroni, Pascal, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-22 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Fonctions hypergéométriques--Fonctions Bessel--Processus--Géométrique--Analytiques Résumé : Après les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonction de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en particulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle.
Bien qu’elles soient étudiées à part, les fonctions de Bessel constituent un cas particulier notable des fonctions hypergéométriques confluentes dans la mesure où l’on pourrait décrire toutes leurs propriétés à partir de ces dernières.
Toutes ces fonctions ont en commun le fait d’être respectivement solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux : l’équation de Gauss, l’équation de Kummer et l’équation de Bessel. Ce fait est à l’origine de toutes les propriétés importantes des fonctions envisagées. Il est aussi responsable de l’extraordinaire développement de la littérature au sujet des fonctions hypergéométriques, surtout à l’égard des fonctions de Bessel, car c’est par l’intermédiaire de l’équation différentielle que celles-ci apparaissent dans de nombreux problèmes de la physique mathématique (électrodynamique, théorie des vibrations, théorie de la chaleur), lorsque l’on pratique, pour résoudre l’équation en cause, la méthode dite de séparation des variables.
Dans ce qui suit, nous nous plaçons délibérément sur un terrain élémentaire, en essayant toutefois d’être rigoureux. Sans prétendre à l’exhaustivité – et de loin –, la matière traitée permet une première compréhension des problèmes et donne la possibilité d’aborder, plus aguerris, les ouvrages spécialisés indiqués à la fin de cet article.Note de contenu : Bibliogr.AF 160 REFERENCE : A 160 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Fonctions hypergéométriques : fonctions de bessel [texte imprimé] / Maroni, Pascal, Auteur . - 2007 . - 1-22 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Mots-clés : Fonctions hypergéométriques--Fonctions Bessel--Processus--Géométrique--Analytiques Résumé : Après les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonction de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en particulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle.
Bien qu’elles soient étudiées à part, les fonctions de Bessel constituent un cas particulier notable des fonctions hypergéométriques confluentes dans la mesure où l’on pourrait décrire toutes leurs propriétés à partir de ces dernières.
Toutes ces fonctions ont en commun le fait d’être respectivement solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients polynomiaux : l’équation de Gauss, l’équation de Kummer et l’équation de Bessel. Ce fait est à l’origine de toutes les propriétés importantes des fonctions envisagées. Il est aussi responsable de l’extraordinaire développement de la littérature au sujet des fonctions hypergéométriques, surtout à l’égard des fonctions de Bessel, car c’est par l’intermédiaire de l’équation différentielle que celles-ci apparaissent dans de nombreux problèmes de la physique mathématique (électrodynamique, théorie des vibrations, théorie de la chaleur), lorsque l’on pratique, pour résoudre l’équation en cause, la méthode dite de séparation des variables.
Dans ce qui suit, nous nous plaçons délibérément sur un terrain élémentaire, en essayant toutefois d’être rigoureux. Sans prétendre à l’exhaustivité – et de loin –, la matière traitée permet une première compréhension des problèmes et donne la possibilité d’aborder, plus aguerris, les ouvrages spécialisés indiqués à la fin de cet article.Note de contenu : Bibliogr.AF 160 REFERENCE : A 160 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 1997 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-21 p.
Titre : Introduction aux equations aux dérivées partielles linéaires Type de document : texte imprimé Auteurs : Debeaumarché, Gérard, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-21 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Dérivées--partielles--Propriétés élémentaires Résumé : On se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équations de la forme:
où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C 2.
On distingue a priori deux types de problèmes :
ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ;
ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la variable temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution.
On recherche le plus souvent des solutions vérifiant des conditions aux limites, signifiant que la solution considérée u, a priori définie sur l’ouvert U du plan, satisfait certaines conditions sur la frontière de U. On distingue à ce sujet deux types de conditions, celles de Dirichlet et de Neumann.
Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de U.
Les conditions de Neumann imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’admettre en tout point de la frontière de U une dérivée u/ N suivant le vecteur normal N orienté vers l’extérieur de la frontière de U (supposée suffisamment régulière) égale à une fonction donnée.
Dans un problème d’évolution, on recherche de plus des solutions vérifiant certaines conditions initiales (ou conditions de Cauchy), signifiant que, à l’instant t = 0, la solution u(x, y, z, t ) de l’équation vérifieNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 162 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Introduction aux equations aux dérivées partielles linéaires [texte imprimé] / Debeaumarché, Gérard, Auteur . - 2007 . - 1-21 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-21 p.
Mots-clés : Equations--Dérivées--partielles--Propriétés élémentaires Résumé : On se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équations de la forme:
où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C 2.
On distingue a priori deux types de problèmes :
ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ;
ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la variable temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution.
On recherche le plus souvent des solutions vérifiant des conditions aux limites, signifiant que la solution considérée u, a priori définie sur l’ouvert U du plan, satisfait certaines conditions sur la frontière de U. On distingue à ce sujet deux types de conditions, celles de Dirichlet et de Neumann.
Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de U.
Les conditions de Neumann imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’admettre en tout point de la frontière de U une dérivée u/ N suivant le vecteur normal N orienté vers l’extérieur de la frontière de U (supposée suffisamment régulière) égale à une fonction donnée.
Dans un problème d’évolution, on recherche de plus des solutions vérifiant certaines conditions initiales (ou conditions de Cauchy), signifiant que, à l’instant t = 0, la solution u(x, y, z, t ) de l’équation vérifieNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 162 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Théorie de la mesure et intégration Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Mesure--Intégration--Fonctions mesurables--Probabilités Résumé : La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1.
Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 164 Date : Juillet 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Théorie de la mesure et intégration [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Mesure--Intégration--Fonctions mesurables--Probabilités Résumé : La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1.
Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 164 Date : Juillet 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-6 p.
Titre : Probabilités : présentation Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-6 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Probabilités--Analyse mathématique Résumé : L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires.
Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 165 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Probabilités : présentation [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-6 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-6 p.
Mots-clés : Probabilités--Analyse mathématique Résumé : L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires.
Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 165 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p.
Titre : Probabilités : concepts fondamentaux Type de document : texte imprimé Auteurs : Méléard, Sylvie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-24 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Probabilités Concepts fondamentaux Résumé : On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...).
Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF166 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2002 [article] Probabilités : concepts fondamentaux [texte imprimé] / Méléard, Sylvie, Auteur . - 2007 . - 1-24 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-24 p.
Mots-clés : Probabilités Concepts fondamentaux Résumé : On trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples motivant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbulence, mathématiques financières...).
Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF166 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2002
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Titre : Statistique descriptive : traitement des données Type de document : texte imprimé Auteurs : Cheze, Nathalie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-14 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Statistique--Descriptive Traitement--Sciences humaines--Sciences expérimentales Résumé : La majorité des sciences, qu’il s’agisse des sciences expérimentales (physique, biologie, médecine, chimie, psychologie) ou des sciences humaines (sociologie, linguistique, histoire, géographie), font appel à des données souvent nombreuses (issues, par exemple, de sondages), qu’il convient de traiter à l’aide d’une méthodologie appropriée. La statistique descriptive est une méthode consistant à traiter et interpréter l’ensemble des données.
Le but de cet article est de définir les outils usuels de statistique descriptive permettant la description quantitative et graphique d’un caractère ou d’un couple de caractères à partir des données recueillies.
Pour de plus amples renseignements, le lecteur pourra consulter les références bibliographiques [1][2][3].Note de contenu : Bibiogr. REFERENCE : AF 167 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Statistique descriptive : traitement des données [texte imprimé] / Cheze, Nathalie, Auteur . - 2007 . - 1-14 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Mots-clés : Statistique--Descriptive Traitement--Sciences humaines--Sciences expérimentales Résumé : La majorité des sciences, qu’il s’agisse des sciences expérimentales (physique, biologie, médecine, chimie, psychologie) ou des sciences humaines (sociologie, linguistique, histoire, géographie), font appel à des données souvent nombreuses (issues, par exemple, de sondages), qu’il convient de traiter à l’aide d’une méthodologie appropriée. La statistique descriptive est une méthode consistant à traiter et interpréter l’ensemble des données.
Le but de cet article est de définir les outils usuels de statistique descriptive permettant la description quantitative et graphique d’un caractère ou d’un couple de caractères à partir des données recueillies.
Pour de plus amples renseignements, le lecteur pourra consulter les références bibliographiques [1][2][3].Note de contenu : Bibiogr. REFERENCE : AF 167 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2002 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-15 p.
Titre : Statistique inférentielle : estimation Type de document : texte imprimé Auteurs : Cheze, Nathalie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-15 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Statistique--Echantillonnage--Probabilité Estimation--Analyser--Données Résumé : Recueillir et analyser les données sont les deux objectifs fondamentaux de la Statistique. Pour parvenir à cela, il faut suivre plusieurs étapes. Tout d’abord, il s’agit de définir l’objet étudié, les variables statistiques mises en cause, le questionnaire à établir, puis de fabriquer un échantillon représentatif selon un plan de sondage. Nous ne nous étendrons pas sur ce dernier thème dont les développements sont hors de propos dans cet article. Nous aborderons tout d’abord la notion d’échantillonnage pour éclaircir les notions de population et d’échantillon.
Une fois les données collectées et corrigées (travail laborieux mais indispensable), on peut les visualiser sous forme de tableaux ou graphes et les résumer grâce à des paramètres qui permettent de dégager les caractéristiques essentielles du phénomène étudié. Ces techniques sont développées dans l’article Statistique descriptive- Traitement des donnéesStatistique descriptive- Traitement des données CHÈZE (N.) - Statistique descriptive. Traitement des données.
Ensuite vient l’étape de modélisation. La statistique inférentielle fournit des éléments permettant de spécifier du mieux possible, à partir de l’échantillon observé, le modèle probabiliste qui a engendré les données : détermination du modèle, estimation des paramètres inconnus et validation du modèle. Elle a pour but de faire des prévisions et de prendre des décisions au vu des observations.
La partie estimation est exposée dans le paragraphe 3 et présente des méthodes statistiques utilisées par les ingénieurs. Ces méthodes seront généralement justifiées de façon mathématique, pour éviter un certain nombre d’erreurs d’interprétation des résultats, fréquentes dans la pratique.
Les méthodes statistiques sont utilisées dans de nombreux domaines tels que l’ingénierie (contrôle de qualité de fabrication...), la médecine (expérimentation de nouveaux traitements...), l’économie (études quantitatives de marché...) et d’autres.
La lecture de cet article demande des prérequis en Probabilités. Toutes les notions et notations utilisées dans la suite se trouvent dans l’article Probabilités- Concepts fondamentauxProbabilités- Concepts fondamentaux MÉLÉARD (S.) - Probabilités de ce traité.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 168 Date : Octobre 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Statistique inférentielle : estimation [texte imprimé] / Cheze, Nathalie, Auteur . - 2007 . - 1-15 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-15 p.
Mots-clés : Statistique--Echantillonnage--Probabilité Estimation--Analyser--Données Résumé : Recueillir et analyser les données sont les deux objectifs fondamentaux de la Statistique. Pour parvenir à cela, il faut suivre plusieurs étapes. Tout d’abord, il s’agit de définir l’objet étudié, les variables statistiques mises en cause, le questionnaire à établir, puis de fabriquer un échantillon représentatif selon un plan de sondage. Nous ne nous étendrons pas sur ce dernier thème dont les développements sont hors de propos dans cet article. Nous aborderons tout d’abord la notion d’échantillonnage pour éclaircir les notions de population et d’échantillon.
Une fois les données collectées et corrigées (travail laborieux mais indispensable), on peut les visualiser sous forme de tableaux ou graphes et les résumer grâce à des paramètres qui permettent de dégager les caractéristiques essentielles du phénomène étudié. Ces techniques sont développées dans l’article Statistique descriptive- Traitement des donnéesStatistique descriptive- Traitement des données CHÈZE (N.) - Statistique descriptive. Traitement des données.
Ensuite vient l’étape de modélisation. La statistique inférentielle fournit des éléments permettant de spécifier du mieux possible, à partir de l’échantillon observé, le modèle probabiliste qui a engendré les données : détermination du modèle, estimation des paramètres inconnus et validation du modèle. Elle a pour but de faire des prévisions et de prendre des décisions au vu des observations.
La partie estimation est exposée dans le paragraphe 3 et présente des méthodes statistiques utilisées par les ingénieurs. Ces méthodes seront généralement justifiées de façon mathématique, pour éviter un certain nombre d’erreurs d’interprétation des résultats, fréquentes dans la pratique.
Les méthodes statistiques sont utilisées dans de nombreux domaines tels que l’ingénierie (contrôle de qualité de fabrication...), la médecine (expérimentation de nouveaux traitements...), l’économie (études quantitatives de marché...) et d’autres.
La lecture de cet article demande des prérequis en Probabilités. Toutes les notions et notations utilisées dans la suite se trouvent dans l’article Probabilités- Concepts fondamentauxProbabilités- Concepts fondamentaux MÉLÉARD (S.) - Probabilités de ce traité.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 168 Date : Octobre 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-7 p.
Titre : Statistique inférentielle : tests statistiques Type de document : texte imprimé Auteurs : Cheze, Nathalie, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-7 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Statistique--Inférentielle--Tests statistique Résumé : Ce formulaire présente, à l’aide d’exemples numériques, l’utilisation des tables statistiques relatives aux différentes lois classiques de probabilités étudiées dans l’article précédent Statistique inférentielle- EstimationStatistique inférentielle- Estimation Note de contenu : Formulaire REFERENCE : AF 170 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Statistique inférentielle : tests statistiques [texte imprimé] / Cheze, Nathalie, Auteur . - 2007 . - 1-7 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-7 p.
Mots-clés : Statistique--Inférentielle--Tests statistique Résumé : Ce formulaire présente, à l’aide d’exemples numériques, l’utilisation des tables statistiques relatives aux différentes lois classiques de probabilités étudiées dans l’article précédent Statistique inférentielle- EstimationStatistique inférentielle- Estimation Note de contenu : Formulaire REFERENCE : AF 170 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2004 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Titre : Cryptographie : mathématiques Type de document : texte imprimé Auteurs : Chassé, Guy, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-20 p. Note générale : Mthématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Cryptographie--Mathématiques--Communications--Algorithme-- Résumé : On peut grossièrement définir la cryptographie comme un ensemble de techniques visant à assurer la sécurité des communications. Un examen rapide de cette sécurité révèle qu’elle peut se présenter sous deux formes assez distinctes suivant les menaces dont on cherche à se prémunir.
Si une entité A envoie un message à une entité B et cherche à rendre inutile l’interception du message à quiconque n’est pas B, le service recherché est celui de la confidentialité : il s’agit de rendre inopérante une attaque passive (écoute téléphonique, ouverture de courrier). La réponse à ce besoin repose sur l’utilisation d’un algorithme de chiffrement.
Reprenons la même configuration. A envoie un message à B, mais on ne se préoccupe plus maintenant de confidentialité ; on veut que B puisse avoir l’assurance de la provenance de l’information qu’il reçoit, de son authenticité. On veut empêcher une attaque active, par exemple un ajout d’information pendant que celle-ci transite sur la ligne de communication. Il existe toute une famille de besoins de ce type. On veut être sûr de l’intégrité des données transmises, ou bien on veut s’assurer de l’identité de l’expéditeur (de l’authenticité de la carte bancaire et de son possesseur qui retire de l’argent dans un distributeur par exemple. Il s’agit d’un problème d’authentification ou d’identification. Si l’on veut encore aller plus loin en requérant une « preuve » de l’identité de l’expéditeur, on peut avoir besoin d’une signature.
C’est surtout le premier type de besoin qui a prévalu pendant des siècles entiers (confidentialité). Les utilisateurs de la cryptographie étaient alors exclusivement les militaires et les diplomates. Aujourd’hui, les échanges bancaires ont atteint un volume impressionnant ; l’usage du courrier électronique et le commerce électronique se développent et, d’une manière générale, l’informatique bouleverse les moyens de communication. Si les utilisateurs traditionnels de la cryptographie voient aussi leurs besoins s’accroître, ils perdent néanmoins le monopole (ce qui n’est pas toujours sans difficultés, les moyens de cryptographie relevant de la législation des armements dans le nombreux pays) et d’autres domaines font appel à la cryptographie. Les besoins du second type cité (authentification, signature) sont peut-être les plus cruciaux pour ces applications « civiles ».REFERENCE : AF172 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Cryptographie : mathématiques [texte imprimé] / Chassé, Guy, Auteur . - 2007 . - 1-20 p.
Mthématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Mots-clés : Cryptographie--Mathématiques--Communications--Algorithme-- Résumé : On peut grossièrement définir la cryptographie comme un ensemble de techniques visant à assurer la sécurité des communications. Un examen rapide de cette sécurité révèle qu’elle peut se présenter sous deux formes assez distinctes suivant les menaces dont on cherche à se prémunir.
Si une entité A envoie un message à une entité B et cherche à rendre inutile l’interception du message à quiconque n’est pas B, le service recherché est celui de la confidentialité : il s’agit de rendre inopérante une attaque passive (écoute téléphonique, ouverture de courrier). La réponse à ce besoin repose sur l’utilisation d’un algorithme de chiffrement.
Reprenons la même configuration. A envoie un message à B, mais on ne se préoccupe plus maintenant de confidentialité ; on veut que B puisse avoir l’assurance de la provenance de l’information qu’il reçoit, de son authenticité. On veut empêcher une attaque active, par exemple un ajout d’information pendant que celle-ci transite sur la ligne de communication. Il existe toute une famille de besoins de ce type. On veut être sûr de l’intégrité des données transmises, ou bien on veut s’assurer de l’identité de l’expéditeur (de l’authenticité de la carte bancaire et de son possesseur qui retire de l’argent dans un distributeur par exemple. Il s’agit d’un problème d’authentification ou d’identification. Si l’on veut encore aller plus loin en requérant une « preuve » de l’identité de l’expéditeur, on peut avoir besoin d’une signature.
C’est surtout le premier type de besoin qui a prévalu pendant des siècles entiers (confidentialité). Les utilisateurs de la cryptographie étaient alors exclusivement les militaires et les diplomates. Aujourd’hui, les échanges bancaires ont atteint un volume impressionnant ; l’usage du courrier électronique et le commerce électronique se développent et, d’une manière générale, l’informatique bouleverse les moyens de communication. Si les utilisateurs traditionnels de la cryptographie voient aussi leurs besoins s’accroître, ils perdent néanmoins le monopole (ce qui n’est pas toujours sans difficultés, les moyens de cryptographie relevant de la législation des armements dans le nombreux pays) et d’autres domaines font appel à la cryptographie. Les besoins du second type cité (authentification, signature) sont peut-être les plus cruciaux pour ces applications « civiles ».REFERENCE : AF172 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Titre : Cryptographie : algorithmes Type de document : texte imprimé Auteurs : Chassé, Guy, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-16 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Cryptographie--Algorithmes--Symétrique Résumé : Dans les exemples décrits dans l’article « Mathématiques », l’algorithme étant choisi, les deux correspondants se mettaient d’accord sur la clé K qu’ils gardaient secrète. Le processus était alors symétrique ; chacun pouvait envoyer et recevoir des messages confidentiellement. On dit que de tels algorithmes sont symétriques ou à clé secrète.
Les années 1970 ont vu apparaître un nouveau type d’algorithmes dits à clé publique ou asymétriques. Ils correspondent, dans notre formalisme, à une situation où la donnée de EK ne suffit pas pratiquement (en un sens à définir précisément, mais disons à l’aide des moyens de calculs existants) pour retrouver DK. Dans ce cas, le procédé n’est plus symétrique ; le possesseur de EK est capable d’envoyer des messages au détenteur de DK qui sera le seul à pouvoir les lire. Il n’y a alors aucune raison de laisser l’application EK secrète ; on la publie sous l’appellation de clé publique. Chacun peut envoyer de manière confidentielle des messages au possesseur de DK, cette dernière application ou ce qu’il faut pour la construire prenant le nom de clé secrète. Dans la suite de ce texte, nous allons décrire des exemples qui permettront de clarifier cette notion d’algorithme à clé publique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 173 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Cryptographie : algorithmes [texte imprimé] / Chassé, Guy, Auteur . - 2007 . - 1-16 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-16 p.
Mots-clés : Cryptographie--Algorithmes--Symétrique Résumé : Dans les exemples décrits dans l’article « Mathématiques », l’algorithme étant choisi, les deux correspondants se mettaient d’accord sur la clé K qu’ils gardaient secrète. Le processus était alors symétrique ; chacun pouvait envoyer et recevoir des messages confidentiellement. On dit que de tels algorithmes sont symétriques ou à clé secrète.
Les années 1970 ont vu apparaître un nouveau type d’algorithmes dits à clé publique ou asymétriques. Ils correspondent, dans notre formalisme, à une situation où la donnée de EK ne suffit pas pratiquement (en un sens à définir précisément, mais disons à l’aide des moyens de calculs existants) pour retrouver DK. Dans ce cas, le procédé n’est plus symétrique ; le possesseur de EK est capable d’envoyer des messages au détenteur de DK qui sera le seul à pouvoir les lire. Il n’y a alors aucune raison de laisser l’application EK secrète ; on la publie sous l’appellation de clé publique. Chacun peut envoyer de manière confidentielle des messages au possesseur de DK, cette dernière application ou ce qu’il faut pour la construire prenant le nom de clé secrète. Dans la suite de ce texte, nous allons décrire des exemples qui permettront de clarifier cette notion d’algorithme à clé publique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 173 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2000 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Suite automatiques et séries formelles algébriques Type de document : texte imprimé Auteurs : Allouche, Jean-Paul, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Séries formelles--Algébriques--Machines abstraites--Systématique Résumé : Comment reconnaître si une suite (infinie) binaire est « au hasard » ? La difficulté de la question et le caractère non universel des réponses (au hasard dans quel sens ? pour quel usage ?) font qu’on peut imaginer poser la question à l’envers en quelque sorte et demander ce qu’est une suite « déterministe ».
Parmi les suites déterministes, celles engendrées par des « machines abstraites » semblent les plus faciles à étudier. C’est le cas des suites engendrées par automate fini, encore appelées « suites automatiques », dont une définition informelle pourrait être que ce sont des suites dont le ne terme dépend de la valeur donnée par un automate fini (qu’on pourrait représenter comme une sorte de graphe avec des étiquettes mais dont une définition formelle sera donnée plus loin) dans lequel on entre les uns après les autres les chiffres de l’entier n dans une base entière donnée.
Les suites ainsi construites sont bien sûr déterministes ; certaines d’entre elles peuvent être périodiques ou ultimement périodiques (périodiques à partir d’un certain rang), mais celles qui ne sont pas périodiques présentent la double particularité d’être « faciles » à engendrer mais de pouvoir être « compliquées » (comme pourraient l’être des suites « chaotiques » voire... au hasard).
Dans ce qui suit, nous allons présenter cette famille de suites, en insistant sur les propriétés des séries formelles associées sur un corps fini. Le résultat fondamental (théorème de Christol) a été historiquement un pont important entre la théorie des automates (et donc l’informatique théorique) et la théorie des nombres. Nous citerons aussi, très brièvement, des relations avec d’autres domaines des mathématiques, avec la physique (des quasi-cristaux), voire avec la composition musicale.
L’étude systématique des suites automatiques a commencé avec trois articles d’Alan Cobham entre 1968 et 1972 COBHAM (A.) - On the Hartmanis-Stearns problem for a class of tag machines COBHAM (A.) - On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata COBHAM (A.) - Uniform tag sequences. Elles ont connu leur essor dans leurs liens avec la théorie des nombres avec un article de Gilles Christol en 1979 CHRISTOL (G.) - Ensembles presque périodiques k-reconnaissables, puis un article de Gilles Christol, Teturo Kamae, Michel Mendès France et Gérard Rauzy en 1980 CHRISTOL (G.), KAMAE (T.), MENDÈS FRANCE (M.), RAUZY (G.) - Suites algébriques, automates et substitutions. Leurs développements les plus récents pourront être trouvés dans un livre collectif signé Pytheas Fogg PYTHEAS FOGG (N.) - Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, dans un livre de Friedrich von Haeseler Von HAESELER (F.) - Automatic sequences, ainsi que dans un livre de Jeff Shallit et de l’auteur ALLOUCHE (J.-P.), SHALLIT (J.) - Automatic sequences. Theory, Applications, GeneralizationsNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF175 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Suite automatiques et séries formelles algébriques [texte imprimé] / Allouche, Jean-Paul, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Séries formelles--Algébriques--Machines abstraites--Systématique Résumé : Comment reconnaître si une suite (infinie) binaire est « au hasard » ? La difficulté de la question et le caractère non universel des réponses (au hasard dans quel sens ? pour quel usage ?) font qu’on peut imaginer poser la question à l’envers en quelque sorte et demander ce qu’est une suite « déterministe ».
Parmi les suites déterministes, celles engendrées par des « machines abstraites » semblent les plus faciles à étudier. C’est le cas des suites engendrées par automate fini, encore appelées « suites automatiques », dont une définition informelle pourrait être que ce sont des suites dont le ne terme dépend de la valeur donnée par un automate fini (qu’on pourrait représenter comme une sorte de graphe avec des étiquettes mais dont une définition formelle sera donnée plus loin) dans lequel on entre les uns après les autres les chiffres de l’entier n dans une base entière donnée.
Les suites ainsi construites sont bien sûr déterministes ; certaines d’entre elles peuvent être périodiques ou ultimement périodiques (périodiques à partir d’un certain rang), mais celles qui ne sont pas périodiques présentent la double particularité d’être « faciles » à engendrer mais de pouvoir être « compliquées » (comme pourraient l’être des suites « chaotiques » voire... au hasard).
Dans ce qui suit, nous allons présenter cette famille de suites, en insistant sur les propriétés des séries formelles associées sur un corps fini. Le résultat fondamental (théorème de Christol) a été historiquement un pont important entre la théorie des automates (et donc l’informatique théorique) et la théorie des nombres. Nous citerons aussi, très brièvement, des relations avec d’autres domaines des mathématiques, avec la physique (des quasi-cristaux), voire avec la composition musicale.
L’étude systématique des suites automatiques a commencé avec trois articles d’Alan Cobham entre 1968 et 1972 COBHAM (A.) - On the Hartmanis-Stearns problem for a class of tag machines COBHAM (A.) - On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata COBHAM (A.) - Uniform tag sequences. Elles ont connu leur essor dans leurs liens avec la théorie des nombres avec un article de Gilles Christol en 1979 CHRISTOL (G.) - Ensembles presque périodiques k-reconnaissables, puis un article de Gilles Christol, Teturo Kamae, Michel Mendès France et Gérard Rauzy en 1980 CHRISTOL (G.), KAMAE (T.), MENDÈS FRANCE (M.), RAUZY (G.) - Suites algébriques, automates et substitutions. Leurs développements les plus récents pourront être trouvés dans un livre collectif signé Pytheas Fogg PYTHEAS FOGG (N.) - Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, dans un livre de Friedrich von Haeseler Von HAESELER (F.) - Automatic sequences, ainsi que dans un livre de Jeff Shallit et de l’auteur ALLOUCHE (J.-P.), SHALLIT (J.) - Automatic sequences. Theory, Applications, GeneralizationsNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF175 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2005 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Protocoles cryptographies : analyse par méthodes formelles Type de document : texte imprimé Auteurs : Cortier, Véronique, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Protocole Cryptographique--Méthodes--formelles--Sécurisation--Réseaux Résumé : Les protocoles cryptographiques sont de courts programmes d’échange de messages basés sur le cryptage. Ils sont destinés à la sécurisation des réseaux informatiques. Ils sont notoirement difficiles à concevoir et à analyser. L’application de méthodes formelles a désormais fait ses preuves pour la détection de faille et la preuve de sécurité. Note de contenu : Bbibiogr. REFERENCE : AF 176 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2006 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Protocoles cryptographies : analyse par méthodes formelles [texte imprimé] / Cortier, Véronique, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Protocole Cryptographique--Méthodes--formelles--Sécurisation--Réseaux Résumé : Les protocoles cryptographiques sont de courts programmes d’échange de messages basés sur le cryptage. Ils sont destinés à la sécurisation des réseaux informatiques. Ils sont notoirement difficiles à concevoir et à analyser. L’application de méthodes formelles a désormais fait ses preuves pour la détection de faille et la preuve de sécurité. Note de contenu : Bbibiogr. REFERENCE : AF 176 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2006 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-26 p.
Titre : Analyse combinatoire elémentaire Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-26 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire Triangle--Pascal Résumé : L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme).
Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique.
Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)n au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre... Après cela, les XVIII e et XIX e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950.
L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics...
Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »... N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien... À chacun de choisir !
Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 200 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire elémentaire [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-26 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-26 p.
Mots-clés : Analyse--Combinatoire Triangle--Pascal Résumé : L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme).
Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique.
Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)n au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre... Après cela, les XVIII e et XIX e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950.
L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics...
Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »... N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien... À chacun de choisir !
Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 200 ISSN : 1776-0860 Date : Avril 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-29 p.
Titre : Analyse combinatoire avancée Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-29 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire avancée Résumé : Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large.
Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails.
Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 201 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire avancée [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-29 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-29 p.
Mots-clés : Analyse--Combinatoire avancée Résumé : Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large.
Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails.
Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 201 ISSN : 1776-0860 Date : Juillet 2001 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-19 p.
Titre : Analyse combinatoire approfondie Type de document : texte imprimé Auteurs : Comtet, Louis, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-19 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Analyse--Combinatoire Patritions--Permutation--Probabilisation Résumé : La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’équivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini à n éléments, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on préfère le nombre de relations d’équivalence à k classes sur N, noté S(n,k), n’est autre que le célèbre nombre de Stirling de seconde espèce. Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algèbre, en analyse, en probabilités, en statistique... Il en sera fait ici une étude particulièrement détaillée.
La notion de partition d’un entier n est de nature plus théorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque généralisation du fameux problème de l’échange de monnaie : de combien de manières peut-on réaliser un montant de n francs avec des pièces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les séries entières, on n’arriverait à rien, comme Euler l’a montré. Cette théorie, dans sa généralité, touche au moins autant à l’arithmétique qu’à la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu.
Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force détails, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de première espèce s(n,k), les nombres eulériens A(n,k) qui comptent les permutations de par montées, les nombres tangents a2n+1, coefficients de Taylor du développement en série entièreNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 202 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Analyse combinatoire approfondie [texte imprimé] / Comtet, Louis, Auteur . - 2007 . - 1-19 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-19 p.
Mots-clés : Analyse--Combinatoire Patritions--Permutation--Probabilisation Résumé : La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’équivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini à n éléments, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on préfère le nombre de relations d’équivalence à k classes sur N, noté S(n,k), n’est autre que le célèbre nombre de Stirling de seconde espèce. Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algèbre, en analyse, en probabilités, en statistique... Il en sera fait ici une étude particulièrement détaillée.
La notion de partition d’un entier n est de nature plus théorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque généralisation du fameux problème de l’échange de monnaie : de combien de manières peut-on réaliser un montant de n francs avec des pièces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les séries entières, on n’arriverait à rien, comme Euler l’a montré. Cette théorie, dans sa généralité, touche au moins autant à l’arithmétique qu’à la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu.
Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force détails, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de première espèce s(n,k), les nombres eulériens A(n,k) qui comptent les permutations de par montées, les nombres tangents a2n+1, coefficients de Taylor du développement en série entièreNote de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 202 ISSN : 1776-0860 Date : Janvier 2003 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Titre : Equations aux dérivées partielles : partie 1 Type de document : texte imprimé Auteurs : Bardos, Claude, Auteur ; Paul, Thierry, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-22 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Dérivées partielles--Dynamique quantique Résumé : Il s’agit d’une théorie motivée par la description de phénomènes distribués. Il y a donc au moins une (et souvent plusieurs) variable(s) d’espace et le temps. Contrastant en cela avec la dynamique du point matériel élaborée par Newton et Leibniz dans la deuxième moité du 17e siècle, cette théorie a vu (probablement) le jour avec Euler et d’Alembert quelques 70 ans plus tard, et Laplace encore 40 ans après.
On parle d’équations d’évolution quand le temps est présent et d’équations stationnaires sinon. Comme pour les équations différentielles, les inconnues (solutions à trouver) ne sont pas uniquement des valeurs numériques mais des fonctions. Fonctions qui dépendent elles-mêmes de fonctions : par exemple pour des problèmes décrits dans des domaines différents de l’espace entier, les conditions aux limites, réalisées elles-mêmes par des fonctions définies sur le bord, jouent un rôle essentiel.
On peut plus ou moins classer les équations aux dérivées partielles (EDP) en catégories elliptique, parabolique et hyperbolique, mais cette classification, qui n’apparaîtra pas dans notre exposé, n’est vraiment rigoureuse que pour des équations linéaires à coefficients constants. Il nous semble donc préférable de garder à l’esprit qu’il existe des problèmes modèles (en petit nombre d’ailleurs) et que l’on attribue les mêmes noms aux équations qui leur ressemblent. Enfin il est important de remarquer que la richesse d’une équation correspond à la variété des domaines où elle s’applique.
C’est donc selon nous un trait particulier de la théorie qu’un « petit » nombre d’équations soit présent.
On peut se demander s’il y a une raison à cela. Il faut tout de suite remarquer que les EDP sont en quelque sorte couplées à une phénoménologie soit sous-jacente (modèles microscopiques ou autres), soit asymptotique (compatibilité avec modèle macroscopique), qui font que le véritable moteur de leur élaboration repose en général sur nombre de principes de symétries et conservations, qui perdurent d’un modèle à l’autre.
Naturellement on a tout d’abord cherché des solutions explicites (noyau de Poisson, de la chaleur, utilisation des transformées de Laplace et de Fourier...). Mais on s’est vite rendu compte que, encore plus que pour les équations différentielles ordinaires, les cas où les solutions s’écrivaient de manière explicite étaient exceptionnels. Néanmoins ces exemples demeurent instructifs, malgré deux nouveaux outils qui ont introduit des points de vue différents : d’une part l’émergence de l’analyse fonctionnelle qui fournit des informations sur l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions sans qu’il soit besoin de recourir à leur calcul explicite, et d’autre part l’apparition des calculs sur ordinateurs qui, eux aussi, suppléent à l’absence d’information analytique.
Bien qu’Euler pressentait, pour la mécanique des fluides, la notion de solution faible, c’est avec l’intégrale de Lebesgue et les distributions de Schwartz que les théorèmes de l’analyse fonctionnelle deviennent ici vraiment opérant.
Nous nous proposons de présenter des résultats modernes de la théorie, en généralisant entre autres les situations liminaires que sont les équations différentielles ordinaires et le calcul matriciel.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 190 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2010 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations aux dérivées partielles : partie 1 [texte imprimé] / Bardos, Claude, Auteur ; Paul, Thierry, Auteur . - 2007 . - 1-22 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-22 p.
Mots-clés : Equations--Dérivées partielles--Dynamique quantique Résumé : Il s’agit d’une théorie motivée par la description de phénomènes distribués. Il y a donc au moins une (et souvent plusieurs) variable(s) d’espace et le temps. Contrastant en cela avec la dynamique du point matériel élaborée par Newton et Leibniz dans la deuxième moité du 17e siècle, cette théorie a vu (probablement) le jour avec Euler et d’Alembert quelques 70 ans plus tard, et Laplace encore 40 ans après.
On parle d’équations d’évolution quand le temps est présent et d’équations stationnaires sinon. Comme pour les équations différentielles, les inconnues (solutions à trouver) ne sont pas uniquement des valeurs numériques mais des fonctions. Fonctions qui dépendent elles-mêmes de fonctions : par exemple pour des problèmes décrits dans des domaines différents de l’espace entier, les conditions aux limites, réalisées elles-mêmes par des fonctions définies sur le bord, jouent un rôle essentiel.
On peut plus ou moins classer les équations aux dérivées partielles (EDP) en catégories elliptique, parabolique et hyperbolique, mais cette classification, qui n’apparaîtra pas dans notre exposé, n’est vraiment rigoureuse que pour des équations linéaires à coefficients constants. Il nous semble donc préférable de garder à l’esprit qu’il existe des problèmes modèles (en petit nombre d’ailleurs) et que l’on attribue les mêmes noms aux équations qui leur ressemblent. Enfin il est important de remarquer que la richesse d’une équation correspond à la variété des domaines où elle s’applique.
C’est donc selon nous un trait particulier de la théorie qu’un « petit » nombre d’équations soit présent.
On peut se demander s’il y a une raison à cela. Il faut tout de suite remarquer que les EDP sont en quelque sorte couplées à une phénoménologie soit sous-jacente (modèles microscopiques ou autres), soit asymptotique (compatibilité avec modèle macroscopique), qui font que le véritable moteur de leur élaboration repose en général sur nombre de principes de symétries et conservations, qui perdurent d’un modèle à l’autre.
Naturellement on a tout d’abord cherché des solutions explicites (noyau de Poisson, de la chaleur, utilisation des transformées de Laplace et de Fourier...). Mais on s’est vite rendu compte que, encore plus que pour les équations différentielles ordinaires, les cas où les solutions s’écrivaient de manière explicite étaient exceptionnels. Néanmoins ces exemples demeurent instructifs, malgré deux nouveaux outils qui ont introduit des points de vue différents : d’une part l’émergence de l’analyse fonctionnelle qui fournit des informations sur l’existence, l’unicité et la stabilité de solutions sans qu’il soit besoin de recourir à leur calcul explicite, et d’autre part l’apparition des calculs sur ordinateurs qui, eux aussi, suppléent à l’absence d’information analytique.
Bien qu’Euler pressentait, pour la mécanique des fluides, la notion de solution faible, c’est avec l’intégrale de Lebesgue et les distributions de Schwartz que les théorèmes de l’analyse fonctionnelle deviennent ici vraiment opérant.
Nous nous proposons de présenter des résultats modernes de la théorie, en généralisant entre autres les situations liminaires que sont les équations différentielles ordinaires et le calcul matriciel.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 190 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2010 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-17 p.
Titre : Equations aux dérivées partielles : partie 2 Type de document : texte imprimé Auteurs : Bardos, Claude, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-17 p. Note générale : Mathématiques pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations--Ondes Résumé : Il s'agit ici de la seconde partie de l'article consacré aux équations aux dérivées partielles. Un guide de lecture en début d'article permet de se repérer aisément dans le présent article et dans l'article [AF 190]. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 191 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2010 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Equations aux dérivées partielles : partie 2 [texte imprimé] / Bardos, Claude, Auteur . - 2007 . - 1-17 p.
Mathématiques pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-17 p.
Mots-clés : Equations--Ondes Résumé : Il s'agit ici de la seconde partie de l'article consacré aux équations aux dérivées partielles. Un guide de lecture en début d'article permet de se repérer aisément dans le présent article et dans l'article [AF 190]. Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 191 ISSN : 1776-0860 Date : Octobre 2010 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 17 p.
Titre : Equations aux dérivées partielles : Partie 2 Type de document : texte imprimé Auteurs : Bardos, Claude, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 17 p. Note générale : Bibliogr. Langues : Français (fre) Mots-clés : Equations Dérivées partielles Résumé : Il s'agit ici de la seconde partie de l'article consacré aux équations aux dérivées partielles. Un guide de lecture en début d'article permet de se repérer aisément dans le présent article et dans l'article [AF 190]. REFERENCE : AF 191 DEWEY : 500 Date : Octobre 2010 En ligne : www.techniques-ingeneiur.fr [article] Equations aux dérivées partielles : Partie 2 [texte imprimé] / Bardos, Claude, Auteur . - 2007 . - 17 p.
Bibliogr.
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 17 p.
Mots-clés : Equations Dérivées partielles Résumé : Il s'agit ici de la seconde partie de l'article consacré aux équations aux dérivées partielles. Un guide de lecture en début d'article permet de se repérer aisément dans le présent article et dans l'article [AF 190]. REFERENCE : AF 191 DEWEY : 500 Date : Octobre 2010 En ligne : www.techniques-ingeneiur.fr
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-9 p.
Titre : Introduction à la logique floue Type de document : texte imprimé Auteurs : Arnold Kaufmann, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-9 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Introduction--Logique floue--Mathématiques Résumé : Les concepts introduits par les mathématiques floues intéressent tous les ingénieurs, partout où ils n’ont pas la possibilité d’effectuer des mesures formelles ou probabilistes.
De tels cas se rencontrent dans beaucoup de techniques :
soit parce qu’il n’existe pas d’antécédents ;
soit parce qu’il s’agit des interactions homme‐machine ;
surtout quand on doit mettre en œuvre des nouveautés scientifiques dont seulement quelques experts sont capables de proposer des données ; ces données ne sont alors pas toujours numériques et sont souvent obtenues au travers de connaissances exprimées par une sémantique, dont on cherche à qualifier le niveau de vérité.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 120 - R 7032 ISSN : 1776-0860 Date : oct. 1992 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/electronique-automatique-th [...] [article] Introduction à la logique floue [texte imprimé] / Arnold Kaufmann, Auteur . - 2007 . - 1-9 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-9 p.
Mots-clés : Introduction--Logique floue--Mathématiques Résumé : Les concepts introduits par les mathématiques floues intéressent tous les ingénieurs, partout où ils n’ont pas la possibilité d’effectuer des mesures formelles ou probabilistes.
De tels cas se rencontrent dans beaucoup de techniques :
soit parce qu’il n’existe pas d’antécédents ;
soit parce qu’il s’agit des interactions homme‐machine ;
surtout quand on doit mettre en œuvre des nouveautés scientifiques dont seulement quelques experts sont capables de proposer des données ; ces données ne sont alors pas toujours numériques et sont souvent obtenues au travers de connaissances exprimées par une sémantique, dont on cherche à qualifier le niveau de vérité.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 120 - R 7032 ISSN : 1776-0860 Date : oct. 1992 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/electronique-automatique-th [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Titre : Calcul tensoriel Type de document : texte imprimé Auteurs : Châtelet, Gilles, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-14 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Calcul tensoriel-- mécanique--Mathématique--Physiques Résumé : En mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel Calcul matricielCalcul matriciel dans le présent traité). Nous verrons 1.1 qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathématicien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur.
Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) :
le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ;
le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 125 ISSN : 1776-0860 Date : nov. 1982 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Calcul tensoriel [texte imprimé] / Châtelet, Gilles, Auteur . - 2007 . - 1-14 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-14 p.
Mots-clés : Calcul tensoriel-- mécanique--Mathématique--Physiques Résumé : En mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel Calcul matricielCalcul matriciel dans le présent traité). Nous verrons 1.1 qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathématicien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur.
Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) :
le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ;
le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : A 125 ISSN : 1776-0860 Date : nov. 1982 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Titre : Séries de Fourier Type de document : texte imprimé Auteurs : Queffélec, Hervé, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-20 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Fourier--Combinaisons linéaires--Signaux élémentaires Résumé : Rappelons qu’une fonction f : → est dite T – périodique si,
f (x + T ) = f (x )
pour tout x réel ;
On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) = .
Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, einx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.
La théorie des séries de Fourier, initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons :
la première opération s’appelle l’analyse de f ;
la seconde la synthèse des signaux cn einx.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 141 ISSN : 1776-0860 Date : janv. 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Séries de Fourier [texte imprimé] / Queffélec, Hervé, Auteur . - 2007 . - 1-20 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-20 p.
Mots-clés : Fourier--Combinaisons linéaires--Signaux élémentaires Résumé : Rappelons qu’une fonction f : → est dite T – périodique si,
f (x + T ) = f (x )
pour tout x réel ;
On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) = .
Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, einx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.
La théorie des séries de Fourier, initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons :
la première opération s’appelle l’analyse de f ;
la seconde la synthèse des signaux cn einx.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 141 ISSN : 1776-0860 Date : janv. 1999 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Titre : Solitons et systèmes intégrables Type de document : texte imprimé Auteurs : Michel TALON, Auteur ; Claude-Michel VIALLET, Auteur Année de publication : 2007 Article en page(s) : 1-8 p. Note générale : Mathématique pour l'ingénieur Langues : Français (fre) Mots-clés : Solitons--Intégrables--Equations--Systèmes Résumé : Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 163 ISSN : 1776-0860 Date : Avr. 2009 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...] [article] Solitons et systèmes intégrables [texte imprimé] / Michel TALON, Auteur ; Claude-Michel VIALLET, Auteur . - 2007 . - 1-8 p.
Mathématique pour l'ingénieur
Langues : Français (fre)
in Techniques de l'ingénieur AFM > Vol. AFM2 (Trimestriel) . - 1-8 p.
Mots-clés : Solitons--Intégrables--Equations--Systèmes Résumé : Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.Note de contenu : Bibliogr. REFERENCE : AF 163 ISSN : 1776-0860 Date : Avr. 2009 En ligne : http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/ [...]
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