| Titre : | Introduction aux equations aux dérivées partielles linéaires (2007) |
| Auteurs : | Debeaumarché, Gérard, Auteur |
| Type de document : | Article : texte imprimé |
| Dans : | Techniques de l'ingénieur AFM (Vol. AFM2, Trimestriel) |
| Article en page(s) : | 1-21 p. |
| Note générale : | Mathématiques pour l'ingénieur |
| Langues : | Français |
| Tags : | Equations--Dérivées--partielles--Propriétés élémentaires |
| Résumé : |
On se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équations de la forme:
où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C 2. On distingue a priori deux types de problèmes : ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ; ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la variable temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution. On recherche le plus souvent des solutions vérifiant des conditions aux limites, signifiant que la solution considérée u, a priori définie sur l’ouvert U du plan, satisfait certaines conditions sur la frontière de U. On distingue à ce sujet deux types de conditions, celles de Dirichlet et de Neumann. Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de U. Les conditions de Neumann imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’admettre en tout point de la frontière de U une dérivée u/ N suivant le vecteur normal N orienté vers l’extérieur de la frontière de U (supposée suffisamment régulière) égale à une fonction donnée. Dans un problème d’évolution, on recherche de plus des solutions vérifiant certaines conditions initiales (ou conditions de Cauchy), signifiant que, à l’instant t = 0, la solution u(x, y, z, t ) de l’équation vérifie |
| Note de contenu : | Bibliogr. |
| REFERENCE : | AF 162 |
| ISSN : | 1776-0860 |
| Date : | Octobre 1999 |
| En ligne : | http://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/mathematiques-fondamentales-analyse-42103210/introduction-aux-equations-aux-derivees-partielles-lineaires-af162/ |
